Ένα τρίγωνο έχει γωνίες στα (5, 5), (9, 4) και (1, 8). Ποια είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου;

Απάντηση:

#r = {8} / { sqrt {17} + 4 sqrt {5} + 5} #

Εξήγηση:

Καλούμε τις κορυφές των γωνιών.

Αφήνω # r # να είναι η ακτίνα του incircle με το incenter I. Η κάθετη από I σε κάθε πλευρά είναι η ακτίνα # r #. Αυτό αποτελεί το υψόμετρο ενός τριγώνου, του οποίου η βάση είναι μια πλευρά. Τα τρία τρίγωνα μαζί κάνουν το αρχικό τραγούδι, έτσι την περιοχή του #mathcal {A} # είναι

# mathcal {A} = 1/2 r (α + β + γ) #

Εχουμε

# a ^ 2 = (9-5) ^ 2 + (4-5) ^ 2 = 17 #

# b ^ 2 = (9-1) ^ 2 + (8-4) ^ 2 = 80 #

# c ^ 2 = (5-1) ^ 2 + (8-5) ^ 2 = 25 #

Η περιοχή #mathcal {A} # ενός τριγώνου με πλευρές #αλφάβητο# ικανοποιεί

# 16mathcal {A} ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2)

# 16 mathcal {Α} ^ 2 = 4 (17) (80) - (25-17-80) ^ 2 = 256 #

#mathcal {A} = sqrt {256/16} = 4 #

#r = {2 mathcal {A}} / (α + β + γ) #

#r = {8} / { sqrt {17} + sqrt {80} + sqrt {25}} #