Εάν πέσει μια λίμνη σε υψόμετρο 174,9 μ. Από ένα ελικόπτερο που ανεβαίνει με ταχύτητα 20,68 μ. / Δευτερόλεπτο, πόσο καιρό πέφτει η πέτρα για να φτάσει στο έδαφος;

Απάντηση:

8,45 δευτερόλεπτα.

Εξήγηση:

Η κατεύθυνση του g όταν μιλάμε για επιτάχυνση εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων που ορίζουμε. Για παράδειγμα αν ορίζετε προς τα κάτω το θετικό 'y' τότε το g θα είναι θετικό. Η σύμβαση πρέπει να λάβει ως θετική προς τα πάνω, ώστε το g να είναι αρνητικό. Αυτό θα χρησιμοποιήσουμε, επίσης παίρνουμε το έδαφος # y = 0 #

#color (κόκκινο) ("EDIT:") # Έχω προσθέσει μια προσέγγιση χρησιμοποιώντας τις κινηματικές εξισώσεις που μαθαίνετε νωρίς στο κάτω μέρος. Το μόνο που έχω κάνει είναι να αντλήσω αυτά χρησιμοποιώντας λογισμικό, αλλά εκτιμώ ότι μπορεί να μην το έχετε καλύψει.Μετακινηθείτε προς τα κάτω στον κόκκινο τίτλο για την προσέγγιση μη λογισμού.

Μπορούμε να εξετάσουμε αυτό πολύ πιο στενά ξεκινώντας από το μηδέν με το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Όταν πέσει η πέτρα έχει αρχική ταχύτητα, αλλά η μόνη δύναμη που ασκείται σε αυτήν οφείλεται στη βαρύτητα. Έχουμε καθορίσει προς τα πάνω την θετική κατεύθυνση y έτσι από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα που μπορούμε να γράψουμε

# m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Αυτό οφείλεται στο ότι η πέτρα θα επιταχύνει προς τη γη, την οποία έχουμε ορίσει ως αρνητική κατεύθυνση.

Η ενσωμάτωση αυτής της έκφρασης δίνει:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = γ '(t) # είναι η ταχύτητα της πέτρας, έτσι όταν εφαρμόζουμε την αρχική ταχύτητα στο # y '(0) = + 20,68 # φτάνουμε στο

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20.68 #

# (dy) / (dt) = 20,68 - g t #

Αυτό μοντέλο της ταχύτητας και έχει νόημα αν το σκεφτείτε. Όταν κυκλοφορήσει, θα έχει την ίδια ταχύτητα με το ελικόπτερο και έτσι θα κινηθεί προς τα πάνω για κάποιο χρονικό διάστημα, αλλά καθώς ο χρόνος εξελίσσεται θα σταματήσει και στη συνέχεια θα αρχίσει να πέφτει.

Για να βρούμε εκτοπισμό, ενσωματώνουμε ξανά:

# y (t) = 20.68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Εφαρμόστε την αρχική συνθήκη # y (0) = 174,9 #

# 174.9 = 20.68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174.9 #

#therefore γ (t) = 20.68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174.9 #

Για να λύσετε το χρόνο για να φτάσετε στο έδαφος, ρυθμίστε # y = 0 # και να λύσει το τετράγωνο:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20.68t - 174.9 = 0 #

Αυτό είναι σίγουρα μια δουλειά για την τετραγωνική φόρμουλα:

# t = (20,68 + -sqrt (20,68 ^ 2-4 (1 / 2g) (-174,9)) / g #

Λήψη # g = 9,8ms ^ (- 2) #

# t = 8.45 ή -4.23 #

Απορρίπτουμε την αρνητική λύση, οπότε η πέτρα παίρνει 8,45 δευτερόλεπτα για να χτυπήσει το έδαφος.

#color (κόκκινο) ("Δεν υπολογίζεται προσέγγιση") #

Ξέρουμε ότι #v = v_0 + στο # όπου # v # είναι η τελική ταχύτητα, # v_0 # είναι η αρχική ταχύτητα, #ένα# είναι η επιτάχυνση και # t # είναι η ώρα για την οποία ζητείται.

Όπως είπα νωρίτερα, με ένα προς τα πάνω σύστημα συντεταγμένων #σολ# θα είναι αρνητική αλλά η πέτρα αρχικά θα κινηθεί προς τα πάνω λόγω της αρχικής ταχύτητας. Θέλουμε να βρούμε το σημείο στο οποίο σταματά να κινείται προς τα πάνω:

Σειρά # v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#therefore t = v_0 / g = 20.68 / 9.8 #

Τώρα χρησιμοποιήστε

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # πάλι με # a = -g #

Έτσι #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20.68) ^ 2 / 9.8 - (20.68 ^ 2) / (2 * 9.8) #

#S = 21,8m #

Αυτό σημαίνει ότι η πέτρα σταματά για λίγο # y = 174.9 + 21.8 #

#y = 196.7m #

Τώρα δεν έχουμε καμία ενοχλητική αρχική ταχύτητα για να αντιμετωπίσουμε, απλά μια ευθεία πτώση από αυτό το ύψος:

#S = v_0t-1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Καθώς είναι θετικό προς τα πάνω, η πτώση θα οδηγήσει σε αρνητική μετατόπιση

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196.7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196.7) / 9.8) #

# t = 8,45 # όπως απαιτείται.

Απάντηση:

8,45s

Εξήγηση:

Το ελικόπτερο εκτυλίσσεται με ταχύτητα # u = 20,68m / s # Έτσι, η πέτρα που πέφτει από αυτήν θα έχει την ίδια αρχική ταχύτητα με την ανερχόμενη ταχύτητα του ελικοπτέρου, αλλά η προς τα κάτω βαρυτική δύναμη θα της παρέχει μια προς τα κάτω επιτάχυνση (g).

Λαμβάνοντας υπόψη το σημείο της πτώσης της πέτρας από το ελικόπτερο ως προέλευσης, προχωρούμε ως εξής

Αν προς τα άνω αρχική ταχύτητα θετικός έπειτα επιτάχυνση προς τα κάτω (g) πρέπει να λαμβάνεται ως αρνητικός και μετατόπιση προς τα κάτω (η) πρέπει επίσης να ληφθούν υπόψη αρνητικός.

#color (κόκκινο) ("Εδώ προς τα πάνω + και προς τα κάτω -ve") #

Τώρα υπολογισμός του χρόνου (t) φθάνοντας στο έδαφος

Έτσι έχουμε

# u = + 20,68m / s #

# g = -9,8 m / s ^ 2 #

# h = -174.9m #

#t =? #

Εισαγωγή αυτών σε εξίσωση κίνησης υπό βαρύτητα (που περιλαμβάνει τις μεταβλητές h, u, g, t) παίρνουμε

# h = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174,9 = 20,68xxt-1 / 2xx9,8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174.9 = 0 #

= = t = (20,68 + sqrt ((- 20,68) ^ 2-4 * 4,9 * (- 174,9))) / (2 * 4,9)

#:. t = 8.45s #

Η ίδια εξίσωση (1) θα επιτευχθεί εάν αντιστρέψουμε την κατεύθυνση#color (κόκκινο) ("προς τα πάνω και προς τα κάτω + ive.") #