Απάντηση:
Εξήγηση:
λειτουργία απόλυτης τιμής όπως
μπορεί να γραφτεί έτσι:
εφαρμογή διαφοροποίησης:
απλοποιώ,
έτσι γενικά
Θα το βάλω σε διπλό έλεγχο μόνο για να είμαι σίγουρος.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του Θεωρήματος Ενδιάμεσης Αξίας και του Θεωρήματος της Αξίας Αξίας;
Το Θεώρημα Ενδιάμεσης Αξίας (IVT) λέει ότι λειτουργίες που είναι συνεχείς σε ένα διάστημα [a, b] λαμβάνουν όλες τις (ενδιάμεσες) τιμές μεταξύ των ακραίων τους. Το Θεώρημα της Εξαιρετικής Αξίας (EVT) λέει ότι λειτουργίες που είναι συνεχείς στο [a, b] επιτυγχάνουν τις ακραίες τιμές τους (υψηλή και χαμηλή). Ακολουθεί μια δήλωση του EVT: Αφήνω f να είναι συνεχής στο [a, b]. Στη συνέχεια, υπάρχουν αριθμοί c, d in [a, b] έτσι ώστε f (c) leq f (x) leq f (d) για όλα τα x in [a, b]. Δηλώνεται με άλλο τρόπο, υπάρχουν τα "supremum" M και "infimum" m της περιοχής {f (x): x στο [a, b] } [a, b] έτσι ώστε το f (c) = m
Ένα αυτοκίνητο υποτιμάται με συντελεστή 20% ετησίως. Έτσι, στο τέλος κάθε έτους, το αυτοκίνητο αξίζει το 80% της αξίας του από την αρχή του έτους. Ποιο ποσοστό της αρχικής αξίας του είναι το αυτοκίνητο αξίας στο τέλος του τρίτου έτους;
51.2% Ας μοντελοποιήσουμε αυτό με μια φθίνουσα εκθετική συνάρτηση. f (x) = y φορές (0.8) ^ x Όπου y είναι η αρχική τιμή του αυτοκινήτου και x είναι ο χρόνος που έχει περάσει σε έτη από το έτος αγοράς. Έτσι μετά από 3 χρόνια έχουμε τα εξής: f (3) = y φορές (0.8) ^ 3 f (3) = 0.512y Έτσι, το αυτοκίνητο αξίζει μόνο το 51,2% της αρχικής του αξίας μετά από 3 χρόνια.
Ποιο θεώρημα εγγυάται την ύπαρξη μιας απόλυτης μέγιστης τιμής και μιας απόλυτης ελάχιστης τιμής για το f;
Γενικά, δεν υπάρχει εγγύηση για την ύπαρξη απόλυτης μέγιστης ή ελάχιστης τιμής f. Εάν το f είναι συνεχές σε ένα κλειστό διάστημα [a, b] (δηλαδή: σε ένα κλειστό και οριοθετημένο διάστημα), τότε το Θεώρημα ακραίων τιμών εγγυάται την ύπαρξη απόλυτης μέγιστης ή ελάχιστης τιμής f στο διάστημα [a, b] .