Γιατί η τετραγωνική ρίζα του 5 είναι ένας παράλογος αριθμός;

Απάντηση:

Βλέπε εξήγηση …

Εξήγηση:

Εδώ είναι ένα σκίτσο μιας απόδειξης με αντίφαση:

Υποθέτω #sqrt (5) = p / q # για μερικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς #Π# και # q #.

Χωρίς απώλεια της γενικότητας, μπορεί να υποθέσουμε αυτό #p, q # είναι οι μικρότεροι τέτοιοι αριθμοί.

Στη συνέχεια, εξ ορισμού:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Πολλαπλασιάστε και τα δύο άκρα με # q ^ 2 # να πάρω:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Έτσι # p ^ 2 # διαιρείται με #5#.

Από τότε #5# είναι πρωταρχικής σημασίας, #Π# πρέπει να διαιρείται με #5# πολύ.

Έτσι #p = 5m # για κάποιο θετικό ακέραιο # m #.

Έτσι έχουμε:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Διαιρέστε και τα δύο άκρα από #5# να πάρω:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Διαιρέστε και τα δύο άκρα από # m ^ 2 # να πάρω:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Έτσι #sqrt (5) = q / m #

Τώρα # p> q> m #, Έτσι # q, m # είναι ένα μικρότερο ζεύγος ακεραίων των οποίων το πηλίκο είναι #sqrt (5) #, αντίθετα με την υπόθεση μας.

Έτσι η υπόθεση μας #sqrt (5) # μπορεί να εκπροσωπείται από # p / q # για μερικούς ακεραίους #Π# και # q # είναι ψευδής. Αυτό είναι, #sqrt (5) # δεν είναι λογική. Αυτό είναι, #sqrt (5) # είναι παράλογο.