Ερώτηση # 53a2b + Παράδειγμα

Απάντηση:

Αυτός ο ορισμός της απόστασης είναι αμετάβλητος υπό την αλλαγή του αδρανούς πλαισίου, και επομένως έχει φυσική σημασία.

Εξήγηση:

Ο χώρος Minkowski είναι κατασκευασμένος ώστε να είναι ένας 4-διαστάσεων χώρος με συντεταγμένες παραμέτρων # (x_0, χ_1, χ_2, χ_3, χ_4) #, όπου συνήθως λέμε # x_0 = ct #. Στον πυρήνα της ειδικής σχετικότητας, έχουμε τους μετασχηματισμούς Lorentz, οι οποίοι είναι μετασχηματισμοί από ένα αδρανειακό πλαίσιο σε άλλο που αφήνουν την ταχύτητα του φωτός αμετάβλητη. Δεν θα πάω στην πλήρη καταγωγή των μετασχηματισμών του Lorentz, αν θέλετε να το εξηγήσω αυτό, απλά ρωτήστε και θα πάω σε περισσότερες λεπτομέρειες.

Αυτό που είναι σημαντικό είναι τα εξής. Όταν κοιτάζουμε το Ευκλείδιο διάστημα (τον χώρο στον οποίο έχουμε τον απλό ορισμό του μήκους με τον οποίο έχουμε συνηθίσει # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), έχουμε ορισμένους μετασχηματισμούς. χωρικές περιστροφές, μεταφράσεις και κατοπτρισμού. Αν υπολογίσουμε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε διάφορα πλαίσια αναφοράς που συνδέονται με αυτούς τους μετασχηματισμούς, βρίσκουμε την απόσταση να είναι η ίδια. Αυτό σημαίνει ότι η Ευκλείδης απόσταση είναι αμετάβλητη κάτω από αυτούς τους μετασχηματισμούς.

Τώρα επεκτείνουμε αυτήν την έννοια στον 4-διαστάσεων χωροχρόνο. Πριν από την θεωρία της ειδικής σχετικότητας του Einstein, συνδέσαμε αδρανειακά πλαίσια με μετασχηματισμούς του Galilei, οι οποίοι μόλις αντικατέστησαν μια χωρική συντεταγμένη # x_i # με # x_i-v_it # Για #iin {1,2,3} # όπου # v_i # είναι η ταχύτητα του παρατηρητή στο #Εγώ# κατεύθυνση σε σχέση με το αρχικό πλαίσιο. Αυτός ο μετασχηματισμός δεν άφησε την ταχύτητα του φωτός αμετάβλητη, αλλά άφησε την απόσταση που προκάλεσε το στοιχείο γραμμής # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, απλά επειδή δεν υπάρχει αλλαγή στη χρονική συντεταγμένη, επομένως ο χρόνος είναι απόλυτος.

Ωστόσο, ο μετασχηματισμός Galilei δεν περιγράφει με ακρίβεια τον μετασχηματισμό ενός αδρανούς πλαισίου στο άλλο, διότι γνωρίζουμε ότι η ταχύτητα του φωτός είναι αμετάβλητη υπό κατάλληλους μετασχηματισμούς συντεταγμένων. Ως εκ τούτου, παρουσιάσαμε τον μετασχηματισμό Lorentz. Η ευκλείδεια απόσταση που εκτείνεται σε 4-dim spacetime όπως έγινε παραπάνω δεν είναι αμετάβλητη υπό τον μετασχηματισμό Lorentz, ωστόσο, η απόσταση που προκαλείται από # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # είναι, που ονομάζουμε τη σωστή απόσταση. Έτσι, παρόλο που αυτή η ευκλείδειος απόσταση, στην οποία βρίσκεται το θεώρημα του Πυθαγόρα, είναι μια απολύτως αξιοπρεπής μαθηματική δομή στο 4 dim space, δεν έχει φυσικό νόημα, αφού εξαρτάται από τον παρατηρητή.

Η σωστή απόσταση δεν εξαρτάται από τον παρατηρητή, γι 'αυτό μπορούμε να τον δώσουμε φυσικό νόημα, αυτό γίνεται με τη σύνδεση της arclenght μιας παγκόσμιας γραμμής μέσω του χώρου του Minkowski χρησιμοποιώντας αυτή την απόσταση μέχρι το χρόνο που έχει παρατηρηθεί από ένα αντικείμενο που ταξιδεύει κατά μήκος αυτής της παγκόσμιας γραμμής. Σημειώστε ότι αν αφήσουμε το χρόνο που έχει καθοριστεί, το θεώρημα του Pythagoras εξακολουθεί να κατέχει στις χωρικές συντεταγμένες.

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ / ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ ΕΠΕΞΗΓΗΣΗΣ:

Ο αρχικός συγγραφέας αυτής της ερώτησης με ζήτησε να επεξεργαστώ λίγο περισσότερο, έγραψε: "Ευχαριστώ, αλλά, μπορείτε να εξηγήσετε τις δύο τελευταίες παραγράφους λίγο περισσότερο. Σε ένα βιβλίο είδα ότι είχαν # s ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 #. Εξηγείστε ότι "στην ουσία αυτό που έχουμε εδώ είναι μια δισδιάστατη εκδοχή αυτού που περιγράψαμε παραπάνω.Έχουμε μια περιγραφή του χωροχρόνου με μια χρονική και μία διαστημική διάσταση.Στο σημείο αυτό ορίζουμε μια απόσταση ή πιο συγκεκριμένα έναν κανόνα (μια απόσταση από η καταγωγή σε ένα σημείο) #μικρό# χρησιμοποιώντας τον τύπο # s ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # όπου #Χ# είναι η χωρική συντεταγμένη και # t # η χρονική συντεταγμένη.

Αυτό που έκανα παραπάνω ήταν μια τρισδιάστατη εκδοχή αυτού, αλλά το πιο σημαντικό χρησιμοποίησα # (ds) ^ 2 # αντί # s ^ 2 # (Έχω προσθέσει παρενθέσεις για διευκρίνιση των τετραγώνων). Χωρίς να δούμε πάρα πολύ λεπτομέρειες για τη διαφορική γεωμετρία, εάν έχουμε μια γραμμή που συνδέει δύο σημεία στο διάστημα, # ds # είναι το μήκος ενός μικροσκοπικού κομμάτι της γραμμής, ένα λεγόμενο στοιχείο γραμμής. Μέσω μιας 2D έκδοσης αυτού που έγραψα παραπάνω, έχουμε # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, το οποίο σχετίζεται με το μήκος αυτού του μικροσκοπικού κομμάτι στη μικρή αλλαγή στις συντεταγμένες. Για να υπολογίσετε την απόσταση από την προέλευση σε ένα σημείο # x_0 = α, x_1 = b # σε χωροχρόνο, υπολογίζουμε το μήκος μιας ευθείας γραμμής που πηγαίνει από την προέλευση σε εκείνο το σημείο, αυτή η γραμμή δίνεται # x_0 = a / bx_1 # όπου # x_1σε 0, b #, το σημειώνουμε # dx_0 = a / bdx_1 #, Έτσι # ds ^ 2 = (1-α ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, Έτσι # ds = sqrt (1-α ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, την οποία μπορούμε να ενσωματώσουμε, δίνοντας (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-α ^ 2 / b ^ 2).

Επομένως 2s = 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) σε # (t, χ) # συντεταγμένες.

Έτσι πράγματι αυτό που έγραψα παραπάνω δίνει αυτό που διαβάζετε στο βιβλίο. Ωστόσο, η έκδοση του στοιχείου γραμμής σας επιτρέπει να υπολογίσετε το μήκος οποιασδήποτε γραμμής και όχι μόνο τις ευθείες γραμμές. Η ιστορία για το μετασχηματισμό του Lorentz εξακολουθεί να ισχύει, αυτός ο κανόνας #μικρό# είναι αμετάβλητη υπό την αλλαγή πλαισίου αναφοράς, ενώ # x ^ 2 + (ct) ^ 2 # δεν είναι.

Το γεγονός ότι το θεώρημα του Πυθαγόρα δεν κατέχει δεν είναι εκπληκτικό. Το θεώρημα του Πυθαγόρα κατέχει στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Αυτό σημαίνει ότι ο χώρος στον οποίο εργάζεστε είναι επίπεδος. Ένα παράδειγμα διαστημάτων που δεν είναι επίπεδα είναι η επιφάνεια μιας σφαίρας. Όταν θέλετε να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε αυτή την επιφάνεια, παίρνετε το μήκος της μικρότερης διαδρομής πάνω από αυτή την επιφάνεια που συνδέει αυτά τα δύο σημεία. Εάν σχεδιάσατε ένα σωστό τρίγωνο στην επιφάνεια αυτή, που θα φαινόταν πολύ διαφορετικό από ένα τρίγωνο στον Ευκλείδειο χώρο, αφού οι γραμμές δεν θα ήταν ίσες, το θεωρήμα του Πυθαγόρα δεν κρατάει γενικά.

Ένα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό της Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι ότι όταν τοποθετήσετε ένα σύστημα συντεταγμένων σε αυτό το διάστημα, κάθε συντονισμός εκτελεί τον ίδιο ρόλο. Θα μπορούσατε να περιστρέψετε τους άξονες και να καταλήξετε με την ίδια γεωμετρία. Στη γεωμετρία Minkowski παραπάνω, όλες οι συντεταγμένες δεν έχουν τον ίδιο ρόλο, καθώς οι άξονες του χρόνου έχουν ένα αρνητικό σύμβολο στις εξισώσεις και οι άλλοι δεν έχουν. Εάν αυτό το αρνητικό σύμβολο δεν ήταν εκεί, ο χρόνος και ο χώρος θα είχαν παρόμοιο ρόλο στο χωροχρόνο, ή τουλάχιστον στη γεωμετρία. Αλλά γνωρίζουμε ότι ο χώρος και ο χρόνος δεν είναι ίδιοι.