Τι είναι το ολοκλήρωμα του (ln (xe ^ x)) / x?

Απάντηση:

# int # (xe) x / dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Εξήγηση:

Μας δίνεται:

# int # # n (xe ^ x) / (x) dx #

Χρησιμοποιώντας # n (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Χρησιμοποιώντας # n (a ^ b) = bln (α) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Χρησιμοποιώντας # n (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Διαίρεση του κλάσματος (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Διαχωρισμός των αθροιστικών ολοκληρώσεων:

# = int # # n (x) / xdx + int dx #

Το δεύτερο ολοκληρωμένο είναι απλά # x + C #, όπου #ΝΤΟ# είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Το πρώτο ενιαίο, που χρησιμοποιούμε # u #-υποκατάσταση:

Αφήνω #u equiv ln (x) #, ως εκ τούτου # i = 1 / x dx #

Χρησιμοποιώντας # u #-υποκατάσταση:

# = int udu + x + C #

Ενσωμάτωση (η αυθαίρετη σταθερά #ΝΤΟ# μπορεί να απορροφήσει την αυθαίρετη σταθερά του πρώτου απεριόριστου ολοκλήρου:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Αντικατάσταση πίσω από άποψη #Χ#:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Απάντηση:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Εξήγηση:

Αρχίζουμε χρησιμοποιώντας την ακόλουθη ταυτότητα λογαρίθμου:

# n (ab) = ln (a) + ln (b) #

Εφαρμόζοντας αυτό στο ολοκληρωμένο, παίρνουμε:

(xn) = / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx =

(x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int

Για να αξιολογήσουμε το υπόλοιπο ολοκλήρωμα, χρησιμοποιούμε την ολοκλήρωση με μέρη:

(x) f (x) g (x) dx = f (x) g (x)

θα αφήσω # f (x) = ln (x) # και # g '(x) = 1 / x #. Μπορούμε τότε να υπολογίσουμε ότι:

# f '(x) = 1 / x # και # g (x) = ln (x) #

Στη συνέχεια, μπορούμε να εφαρμόσουμε την ενσωμάτωση με τον τύπο των μερών για να πάρουμε:

(x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Δεδομένου ότι έχουμε το ενιαίο και στις δύο πλευρές του σημείου ισότητας, μπορούμε να το λύσουμε σαν μια εξίσωση:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Επιστρέφοντας στην αρχική έκφραση, παίρνουμε την τελική μας απάντηση:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #