Πώς λύνετε arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3;

Απάντηση:

# x = sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

Εξήγηση:

#arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3 #

Αρχίστε αφήνοντας # alpha = arcsin (x) "" # και # "" beta = arcsin (2x) #

#color (μαύρο) άλφα # και #color (μαύρο) beta # πραγματικά αντιπροσωπεύουν μόνο γωνίες.

Έτσι ώστε να έχουμε: # alpha + βήτα = pi / 3 #

# => αμαρτία (alpha) = x #

#cos (alpha) = sqrt (1-sin ^ 2 (άλφα)) = sqrt (1-x ^ 2) #

Ομοίως, #sin (βήτα) = 2x #

(1-syn ^ 2 (beta)) = sqrt (1- (2x) ^ 2) = sqrt (1-4x ^ 2) #

#άσπρο χρώμα)#

Στη συνέχεια, σκεφτείτε

# alpha + βήτα = pi / 3 #

= cos (alpha + βήτα) = cos (pi / 3) #

= cos (alpha) cos (beta) -sin (άλφα) αμαρτία (beta) = 1/2 #

(x-x2) * sqrt (1-4x ^ 2) - (x) * (2x) = 1/2 #

# => sqrt (1-4x ^ 2-x ^ 2-4x ^ 4) = 2x ^ 2 + 1/2 #

# => sqrt (1-4x ^ 2-x ^ 2-4x ^ 4) ^ 2 = 2x ^ 2 + 1/2 ^ 2 #

# => 1-5χ ^ 2-4χ ^ 4 = 4χ ^ 4 + 2 ^ ^ 2 + 1/4 #

# => 8x ^ 4 + 7x ^ 2-3 / 4 = 0 #

# => 32x ^ 4 + 28x ^ 2-3 = 0 #

Τώρα εφαρμόστε τον τετραγωνικό τύπο στη μεταβλητή # x ^ 2 #

(= 28 + -sqrt (784 + 384)) / 64 = (28 + -sqrt (1168)) / 64 = (-7 + -sqrt (73)) / 16 #

# => x = + - sqrt ((- 7 + -sqrt (73)) / 16) #

#άσπρο χρώμα)#

Αποτυχημένες περιπτώσεις:

#color (κόκκινο) ((1) ".." ## x = + - sqrt ((- 7-sqrt (73)) / 16) #

πρέπει να απορριφθεί επειδή η λύση είναι συγκρότημα # inZZ #

#color (κόκκινο) ((2) ".." ## x = -sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

απορρίπτεται επειδή η λύση είναι αρνητική. Ενώ # pi / 3 # είναι θετική.