Πώς βρίσκετε το παράγωγο του y = Arcsin ((3x) / 4);

Απάντηση:

# dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Εξήγηση:

Θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα της αλυσίδας. Θυμηθείτε ότι ο τύπος για αυτό είναι:

(x)) = f (g (x)) * g '(x) #

Η ιδέα είναι ότι παίρνετε πρώτα το παράγωγο της εξωτερικής λειτουργίας και στη συνέχεια απλά δουλεύετε μέσα στο εσωτερικό.

Πριν ξεκινήσουμε, ας προσδιορίσουμε όλες τις λειτουργίες μας σε αυτή την έκφραση. Εχουμε:

• #arcsin (x) #

• # (3χ) / 4 #

#arcsin (x) # είναι η εξωτερική λειτουργία, οπότε θα ξεκινήσουμε λαμβάνοντας το παράγωγο αυτού. Ετσι:

# dy / dx = χρώμα (μπλε) (d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 -

Παρατηρήστε πώς διατηρούμε ακόμα αυτό # ((3χ) / 4) # εκεί μέσα. Θυμηθείτε, όταν χρησιμοποιείτε τον κανόνα της αλυσίδας διαφοροποιείτε το εξωτερικό, αλλά ακόμα κρατήστε τις εσωτερικές λειτουργίες όταν διαφοροποιούν τις εξωτερικές.

# (3χ) / 4 # είναι η επόμενη εξωτερική μας λειτουργία, οπότε θα πρέπει να επισημάνουμε και το παράγωγο αυτού. Ετσι:

(dx / dx = d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 / (3x) / 4) ^ 2))) ((3χ) / 4)) #

# => dy / dx = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) *

Και αυτό είναι το τέλος του τμήματος λογισμού σε αυτό το πρόβλημα! Το μόνο που έχει απομείνει είναι να κάνει κάποια απλοποίηση για να τακτοποιήσει αυτή την έκφραση, και καταλήγουμε με:

# => dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2)))

Εάν θέλετε κάποια επιπλέον βοήθεια σχετικά με τον κανόνα αλυσίδας, θα σας ενθαρρύνω να ρίξετε μια ματιά σε μερικά από τα βίντεό μου σχετικά με το θέμα:

Ελπίδα ότι βοήθησε:)

Απάντηση:

Δεδομένος: #color (μπλε) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3χ) / 4) #

#color (πράσινο) (d / (dx) sin ^ (- 1) (3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^

Εξήγηση:

Δεδομένος:

#color (μπλε) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3χ) / 4) #

Λειτουργία Σύνθεσης εφαρμόζει μια λειτουργία στα αποτελέσματα ενός άλλου:

Παρατηρήστε ότι το διαφωνία της τριγωνομετρικής λειτουργίας #sin ^ (- 1) ("") # είναι επίσης μια λειτουργία.

ο Κανόνας της αλυσίδας είναι ένας κανόνας για τη διαφοροποίηση συνθέσεις λειτουργιών όπως αυτή που έχουμε.

Κανόνας της αλυσίδας:

(dy / (dx)) (dy / (du)) * ((du) / (dx)) "" # (ή)

(d / dx) f {g (x)} = f 'g (x) * g' x

Μας δίνονται

#color (μπλε) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3χ) / 4) #

Αφήνω, (x) = sin ^ (- 1) (u) "" και "" u = (3x) / 4 #

#color (πράσινο) (Βήμα 1 #

Θα διαφοροποιήσουμε

# f (x) = sin ^ (- 1) (u) Λειτουργία.1

χρησιμοποιώντας το κοινό παράγωγο αποτέλεσμα:

(dx) sin ^ (- 1) (x) = 1 / sqrt (1-x ^ 2 #

Χρησιμοποιώντας το παραπάνω αποτέλεσμα μπορούμε να διαφοροποιήσουμε Λειτουργία.1 παραπάνω ως

(d) = (1) = (1) Αποτέλεσμα1

#color (πράσινο) (Βήμα 2 #

Σε αυτό το βήμα, θα διαφοροποιήσουμε το εσωτερική λειτουργία # (3χ) / 4 #

# d / (dx) ((3χ) / 4) #

Τραβήξτε το σταθερό έξω

# rArr 3/4 * d / (dx) (χ) #

# rArr 3/4 * 1 #

#rArr 3/4 #

#:. d / (dx) ((3χ) / 4) = 3/4 "" #Αποτέλεσμα.2

#color (πράσινο) (Βήμα 3 #

Θα χρησιμοποιήσουμε τα δύο ενδιάμεσα αποτελέσματα, Αποτέλεσμα1 και Αποτέλεσμα.2 να προχωρήσει.

Θα ξεκινήσουμε με, ()) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) * (3/4) #

Αναπληρωτής πίσω #color (καφέ) (u = ((3x) / 4) #

Επειτα, (3x) / 4) = 1 / sqrt (1 / (3x) / 4) ^ 2) * (3/4) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((9x ^ 2) / 16)) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / 16) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / (4 ^ 2)) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) / (sqrt ((4 ^ 2)

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * 4 #

#rArr (3 / ακύρωση 4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * ακυρώστε 4 #

#rArr 3 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) #

Ως εκ τούτου, η τελική μας απάντηση μπορεί να γραφτεί ως

#color (πράσινο) (d / (dx) sin ^ (- 1) (3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^