Ποιος είναι ο γενικός τύπος για το διακριτικό ενός πολυωνύμου βαθμού n;

Απάντηση:

Βλέπε εξήγηση …

Εξήγηση:

Η διάκριση ενός πολυωνύμου # f (x) # του βαθμού # n # μπορεί να περιγραφεί με όρους του προσδιοριστή της μήτρας Sylvester της # f (x) # και # f '(x) # ως εξής:

Δεδομένος:

(n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Εχουμε:

(n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1)

Η μήτρα Sylvester της # f (x) # και # f '(x) # είναι ένα # (2n-1) xx (2n-1) # matrix που σχηματίζεται χρησιμοποιώντας τους συντελεστές τους, παρόμοιο με το ακόλουθο παράδειγμα για # n = 4 # …

###################################################### - (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4α_4,3α_3,2α_2, α_1,0,0), (0, 0-4α_4, 3α3, 2α2,, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Τότε το διακριτικό #Δέλτα# δίνεται από την άποψη του προσδιοριστή της μήτρας Sylvester από τον τύπο:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Για # n = 2 # έχουμε:

########################################################################################################################### =

(που μπορεί να βρείτε πιο αναγνωρίσιμη στη φόρμα #Delta = b ^ 2-4ac #)

Για # n = 3 # έχουμε:

(A_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, α_3, α_2, α_1, α_0), (3a_3, 2α_2, α_1, 0, 0), (0.3α3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a3, 2a_2, a_1)) #

#color (λευκό) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Οι διαφορές για τα τετραγωνικά (# n = 2 #) και κυβικά (# n = 3 #) είναι οι πιο χρήσιμες στο ότι σας λένε ακριβώς πόσες πραγματικές, επαναλαμβανόμενες ή μη πραγματικές σύνθετες μηδενικά πολυώνυμα έχουν.

Η ερμηνεία του διακριτικού για τα πολυώνυμα υψηλότερης τάξης είναι πιο περιορισμένη, αλλά πάντα έχει την ιδιότητα ότι το πολυώνυμο έχει επαναλαμβανόμενα μηδενικά αν και μόνο αν η διάκριση είναι μηδέν.

#άσπρο χρώμα)()#

Περαιτέρω ανάγνωση

Βλ.