Το πιο ψηλό σημείο στη Γη είναι το Mt. Everest, το οποίο είναι 8857 m πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας. Αν η ακτίνα της Γης προς τη στάθμη της θάλασσας είναι 6369 χλμ., Πόσο το μέγεθος του g μεταβάλλεται μεταξύ της στάθμης της θάλασσας και της κορυφής του Mt. Everest;

Απάντηση:

# "Μείωση του μεγέθους του g" ~~ 0.0273m / s ^ 2 #

Εξήγηση:

Αφήνω

# R -> "Ακτίνα της Γης προς τη στάθμη της θάλασσας" = 6369 km = 6369000m #

#M -> "η μάζα της Γης" #

# h -> "το ύψος του ψηλότερου σημείου" #

# "Mt Everest από το επίπεδο της θάλασσας" = 8857m #

#g -> "Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας της Γης" #

# "σε επίπεδο θάλασσας" = 9,8m / s ^ 2 #

#g '-> "Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας στο ψηλότερο" #

# "" "σημείο στη Γη" #

#G -> "Βαρύτητα σταθερή" #

# m -> "μάζα σώματος" #

Όταν το σώμα της μάζας m βρίσκεται στο επίπεδο της θάλασσας, μπορούμε να γράψουμε

# mg = G (mM) / R ^ 2 …….. (1) #

Όταν το σώμα της μάζας m βρίσκεται στο ψηλότερο σημείο του Everst, μπορούμε να γράψουμε

# mg '= G (mM) / (R + h) ^ 2 …… (2) #

Διαίρεση (2) από (1) παίρνουμε

# (g ') / g = (R / (R + h)) ^ 2 = (1 / (1 + h / R)

# = (1 + h / R) ^ (- 2) ~~ 1- (2h) / R #

(Παραμέληση ανώτερων όρων ισχύος # h / R # όπως και # h / R "<<" 1 #)

Τώρα # g '= g (1- (2h) / R) #

Έτσι η αλλαγή (μείωση) του μεγέθους του g

# Deltag = g-g '= (2hg) / R = (2xx8857xx9.8) / 6369000~~0.0273m / s ^ 2

Απάντηση:

#approx -.027 m s ^ (- 2) #

Εξήγηση:

Νόμος του Newton για τη βαρύτητα

# F = (GMm) / (r ^ 2) #

Και #σολ# υπολογίζεται στην επιφάνεια της γης #σχετικά με# ως εξής:

# m g_e = (GMm) / (r_e ^ 2) #

Έτσι #g_e = (GM) / (r_e ^ 2) #

αν έπρεπε να υπολογίσουμε διαφορετικά #σολ#'s θα πάρει

#g_ (everest) - g_ (θάλασσα) = GM (1 / (r_ (everest) ^ 2) - 1 /

# GM = 3.986005 φορές 10 ^ 14m ^ 3s ^ (- 2) #

#approx 3.986005 φορές 10 ^ 14 * (1 / (6369000 + 8857) ^ 2) -1 / (6369000 ^ 2)) #

#approx -.027 m s ^ (- 2) #

Χρησιμοποιώντας διαφορές για διπλό έλεγχο:

#g_e = (GM) / (r_e ^ 2) #

#implies ln (g_e) = ln ((GM) / (r_e ^ 2)) = ln (GM) - 2 ln (r_e)

# (dg_e) / (g_e) = - 2 (dr_e) / (r_e) #

#dg_e = - 2 (dr_e) / (r_e) g_e = -2 * 8857/6369000 * 9.81 = -0.027 ms ^ (- 2) #