Το τρίγωνο Α έχει μια περιοχή 4 και δύο πλευρές μήκους 8 και 4. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει πλευρά με μήκος 13. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Απάντηση:

# "Μέγιστο" = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37.488 #

# "Min" = 169/40 (5 - sqrt15) ~ ~ 4.762 #

Εξήγηση:

Αφήστε τις κορυφές του τριγώνου #ΕΝΑ# να επισημανθεί #Π#, # Q #, # R #, με #PQ = 8 # και # QR = 4 #.

Χρησιμοποιώντας τη φόρμουλα του Heron,

# "Περιοχή" = sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR), όπου

#S = {PQ + QR + PR} / 2 # είναι η μισή περίμετρος,

έχουμε

#S = {8 + 4 + PR} / 2 = {12 + PR} / 2 #

Ετσι,

# Sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #

({12 + PQ} / 2-8) ({12 + PQ} / 2-4) {{12 + PQ} / 2-PQ)

# = sqrt {(12 + PQ) (PQ - 4) (4 + PQ) (12 - PQ)

# = "Περιοχή" = 4 #

Επίλυση για #ΝΤΟ#.

#sqrt {(144 - PQ ^ 2) (PQ ^ 2-16)} = 16 #

# (PQ ^ 2-144) (PQ ^ 2-16) = -256 #

# PQ ^ 4-160 PQ ^ 2 + 2304 = -256 #

# (PQ ^ 2) ^ 2-160 PQ ^ 2 + 2560 = 0 #

Ολοκληρώστε την πλατεία.

# ((PQ ^ 2) ^ 2-80) ^ 2 + 2560 = 80 ^ 2 #

# ((PQ ^ 2) ^ 2-80) ^ 2 = 3840 #

# PQ ^ 2 = 80 + 16sqrt15 # ή # PQ ^ 2 = 80 -16sqrt15 #

#PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915 # ή

#PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~ ~ 4.246 #

Αυτό δείχνει ότι υπάρχουν 2 πιθανά είδη τρίγωνου που ικανοποιούν τις συνθήκες που δίνονται.

Στην περίπτωση της μέγιστης περιοχής για το τρίγωνο, θέλουμε η πλευρά με μήκος 13 να είναι παρόμοια με την πλευρά PQ για το τρίγωνο με #PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~ ~ 4.246 #.

Επομένως, η γραμμική κλίμακα είναι

# 13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}} ~ ~ 3.061 #

Συνεπώς, η περιοχή μεγεθύνεται σε συντελεστή που είναι το τετράγωνο της γραμμικής αναλογίας κλίμακας. Ως εκ τούτου, το μέγιστο τρίγωνο περιοχής Β μπορεί να έχει είναι

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37.488 #

Παρομοίως, στην περίπτωση της περιοχής min για το τρίγωνο, θέλουμε η πλευρά με το μήκος 13 να είναι παρόμοια με την πλευρά PQ για το τρίγωνο με #PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915 #.

Επομένως, η γραμμική κλίμακα είναι

# 13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}} ~ ~ 1.091 #

Συνεπώς, η περιοχή μεγεθύνεται σε συντελεστή που είναι το τετράγωνο της γραμμικής αναλογίας κλίμακας. Ως εκ τούτου, το τρίγωνο περιοχής B min μπορεί να έχει είναι

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4.762 #