Το τρίγωνο Α έχει μια περιοχή 15 και δύο πλευρές μήκους 8 και 7. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει μια πλευρά με μήκος 14. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Απάντηση:

Μέγιστη δυνατή περιοχή τριγώνου Β = 60

Ελάχιστη δυνατή περιοχή τριγώνου Β = 45.9375

Εξήγηση:

#Delta s A και B # είναι παρόμοια.

Για να αποκτήσετε τη μέγιστη επιφάνεια #Delta B #, πλευρά 14 της #Delta B # πρέπει να αντιστοιχεί στην πλευρά 7 του #Delta A #.

Οι πλευρές είναι στην αναλογία 14: 7

Ως εκ τούτου οι περιοχές θα είναι στην αναλογία του #14^2: 7^2 = 196: 49#

Μέγιστη περιοχή τριγώνου # Β = (15 * 196) / 49 = 60 #

Ομοίως για να πάρει την ελάχιστη περιοχή, πλευρά 8 της #Delta A # θα αντιστοιχεί στην πλευρά 14 του #Delta B #.

Οι πλευρές βρίσκονται στην αναλογία # 14: 8# και τις περιοχές #196: 64#

Ελάχιστη έκταση #Delta Β = (15 * 196) / 64 = 45.9375 #

Απάντηση:

Μέγιστη έκταση: #~~159.5# μονάδες

Ελάχιστη περιοχή: #~~14.2# μονάδες

Εξήγηση:

Αν # triangle_A # έχει πλευρές # α = 7 #, # b = 8 #, # c =? # και μια περιοχή # Α = 15 #

έπειτα # c ~~ 4.3color (λευκό) ("XXX") "ή" χρώμα (λευκό) ("XXX") c ~ ~ 14.4 #

(Δείτε παρακάτω για να υποδείξετε τον τρόπο με τον οποίο προέκυψαν αυτές οι τιμές).

Επομένως # triangleA # μπορεί να έχει ελάχιστο μήκος πλευράς #4.3# (περίπου)

και μέγιστο μήκος πλευράς #14.4# (περίπου)

Για τις αντίστοιχες πλευρές:

Χρώμα (λευκό) ("XXX") ("Περιοχή" _B) / ("Περιοχή" _A)

ή ισοδύναμα

Χρώμα (λευκό) ("XXX") "Περιοχή" _B = "Περιοχή" _A * ("Πλευρά" _B)

Παρατηρήστε ότι όσο μεγαλύτερο είναι το μήκος των αντίστοιχων # "Πλευρά" _A #, όσο μικρότερη είναι η τιμή # "Περιοχή" _B #

Έτσι δίνεται # "Περιοχή" _A = 15 #

και # "Πλευρά" _B = 14 #

και η μέγιστη τιμή για μια αντίστοιχη πλευρά είναι # "Πλευρά" _A ~~ 14.4 #

η ελάχιστη έκταση για # triangleB # είναι #15 * (14/14.4)^2 ~~14.164#

Παρόμοια, παρατηρήστε ότι το μικρότερο είναι το μήκος του αντίστοιχου # "Πλευρά" _A #, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του # "Περιοχή" _B #

Έτσι δίνεται # "Περιοχή" _A = 15 #

και # "Πλευρά" _B = 14 #

και η ελάχιστη τιμή για μια αντίστοιχη πλευρά είναι # "Πλευρά" _A ~~ 4.3 #

τη μέγιστη έκταση για # triangleB # είναι #15 * (14/4.3)^2 ~~159.546 #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Προσδιορισμός πιθανών μηκών για #ντο#

Ας υποθέσουμε ότι τοποθετούμε # triangleA # σε ένα τυπικό Καρτεσιανό επίπεδο με την πλευρά με μήκος #8# κατά μήκος του θετικού άξονα Χ από # x = 0 # προς το # x = 8 #

Χρησιμοποιώντας αυτή την πλευρά ως βάση και δεδομένου ότι η περιοχή του # triangleA # είναι #15#

βλέπουμε ότι η κορυφή απέναντι από αυτή την πλευρά πρέπει να είναι σε ύψος # γ = 15/4 #

Εάν η πλευρά με μήκος #7# έχει το ένα άκρο στην προέλευση (το συμβολικό εκεί με την πλευρά του μήκους 8) τότε το άλλο άκρο της πλευράς με μήκος #7# πρέπει να είναι στον κύκλο # x ^ 2 + y ^ 2 = 7 ^ 2 #

(Σημειώστε ότι το άλλο άκρο της γραμμής μήκους #7# πρέπει να είναι η κορυφή απέναντι από την πλευρά με μήκος #8#)

Αντικατάσταση, έχουμε

#color (λευκό) ("XXX") x ^ 2 + (15/4) ^ 2 = 7 ^ 2 #

#color (λευκό) ("XXX") x ^ 2 = 559'16 #

#color (λευκό) ("XXX") x = + - sqrt (559) / 4 #

Δίνοντας πιθανές συντεταγμένες: # (- sqrt (559) / 4,15 / 4) # και # (+ sqrt (559) / 4,15 / 4) #

Στη συνέχεια, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για να υπολογίσουμε την απόσταση σε κάθε σημείο από #(8,0)#

δίνοντας τις πιθανές τιμές που εμφανίζονται παραπάνω (Λυπούμαστε, οι λεπτομέρειες λείπουν, αλλά η Socratic ήδη διαμαρτύρεται για το μήκος).

Το τρίγωνο Α έχει μια περιοχή 12 και δύο πλευρές μήκους 3 και 8. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει πλευρά μήκους 9. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Μέγιστη δυνατή περιοχή τριγώνου Β = 108 Ελάχιστη πιθανή περιοχή τριγώνου B = 15.1875 Τα Delta s A και B είναι παρόμοια. Για να αποκτήσετε τη μέγιστη επιφάνεια του Δέλτα Β, η πλευρά 9 του Δέλτα Β πρέπει να αντιστοιχεί στην πλευρά 3 του Δέλτα Α. Οι πλευρές είναι στην αναλογία 9: 3. Συνεπώς οι περιοχές θα είναι σε αναλογία 9 ^ 2: 3 ^ 2 = 81: 9 Η μέγιστη επιφάνεια του τριγώνου B = (12 * 81) / 9 = 108 Παρόμοια με την ελάχιστη επιφάνεια, η πλευρά 8 του Delta A αντιστοιχεί στην πλευρά 9 του Δέλτα Β. Οι πλευρές είναι στην αναλογία 9: 8 και στις περιοχές 81: 64 Ελάχιστη περιοχή Delta B = (12 * 81) / 64 = 15.1875

Το τρίγωνο Α έχει μια περιοχή 3 και δύο πλευρές μήκους 5 και 4. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει μια πλευρά με μήκος 14. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Μέγιστη επιφάνεια 36,75 και Ελάχιστη επιφάνεια 23,52 Τα Delta s A και B είναι παρόμοια. Για να πάρει τη μέγιστη επιφάνεια του Δέλτα Β, η πλευρά 14 του Δέλτα Β πρέπει να αντιστοιχεί στην πλευρά 4 του Δέλτα Α. Οι πλευρές είναι στην αναλογία 14: 4. Έτσι οι περιοχές θα είναι σε αναλογία 14 ^ 2: 4 ^ 2 = 196: 9 Μέγιστη επιφάνεια του τριγώνου B = (3 * 196) / 16 = 36.75 Παρόμοια για να πάρει την ελάχιστη περιοχή, η πλευρά 5 του Δέλτα Α θα αντιστοιχεί στην πλευρά 14 του Δέλτα Β. Οι πλευρές είναι στην αναλογία 14: 5 και στις περιοχές 196: 25 Ελάχιστη περιοχή Delta B = (3 * 196) / 25 = 23,52

Το τρίγωνο Α έχει μια περιοχή 9 και δύο πλευρές μήκους 8 και 4. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει μια πλευρά με μήκος 8. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Μέγιστη επιφάνεια 36 και Ελάχιστη περιοχή 9 Οι αποστάσεις A και B είναι παρόμοιες. Για να αποκτήσετε τη μέγιστη επιφάνεια του Δέλτα Β, η πλευρά 8 του Δέλτα Β πρέπει να αντιστοιχεί στην πλευρά 4 του Δέλτα Α. Οι πλευρές είναι στην αναλογία 8: 4 Συνεπώς οι περιοχές θα είναι σε αναλογία 8 ^ 2: 4 ^ 2 = 64: 16 Μέγιστη περιοχή τριγώνου B = (9 * 64) / 16 = 36 Παρόμοια με την ελάχιστη περιοχή, η πλευρά 8 του Delta A θα αντιστοιχεί στην πλευρά 8 του Delta B. Οι πλευρές είναι στην αναλογία 6: 8 και στις περιοχές 64: 64 Ελάχιστη περιοχή Delta B = (9 * 64) / 64 = 9