Τι είναι η επέκταση του Taylor του e ^ (- 2x) με κέντρο το x = 0;

Απάντηση:

#e ^ (- 2χ) = άθροισμα (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Εξήγηση:

Η περίπτωση μιας σειράς taylor επεκτάθηκε γύρω #0# ονομάζεται σειρά Maclaurin. Ο γενικός τύπος για μια σειρά Maclaurin είναι:

(0) / (n!) x ^ n # (x) = (n = 0)

Για να επεξεργαστούμε μια σειρά για τη λειτουργία μας μπορούμε να ξεκινήσουμε με μια λειτουργία για # e ^ x # και στη συνέχεια χρησιμοποιήστε το για να υπολογίσετε μια φόρμουλα για #e ^ (- 2x) #.

Προκειμένου να κατασκευαστεί η σειρά Maclaurin, πρέπει να υπολογίσουμε το n-εξάγωνο του # e ^ x #. Αν πάρουμε μερικά παράγωγα, μπορούμε να δούμε αρκετά γρήγορα ένα μοτίβο:

# f (x) = e ^ x #

# f '(x) = e ^ x #

# f '' (x) = e ^ x #

Στην πραγματικότητα, το νίτο παράγωγο του # e ^ x # είναι απλά # e ^ x #. Μπορούμε να συνδέσουμε αυτό τον τύπο Maclaurin:

(n = 0) ^ oox ^ n / (η1) = 1 + χ / (1) + x (n = 0) ^ 2 / (2!) + Χ ^ 3 / (3!) … #

Τώρα που έχουμε μια σειρά Taylor για # e ^ x #, μπορούμε απλώς να αντικαταστήσουμε όλα #Χ#με το # -2x # για να πάρετε μια σειρά για #e ^ (- 2x) #:

(n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) = #

(1!) Χ + 4 / (2!) Χ ^ 2-8 / (3!) Χ ^ 3 + 16 /

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

η οποία είναι η σειρά που αναζητούσαμε.