Πώς να λύσετε χωρίς την κυριαρχία του νοσοκομείου; lim_ (χ-> 0) (xcos ^ 2 (χ)) / (χ + μαύρισμα (3χ))

Απάντηση:

#1/4#

Εξήγηση:

# "Θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε την επέκταση της σειράς Taylor." #

#cos (x) = 1 - x ^ 2/2! + x ^ 4/4! - … #

(x) = x + x ^ 3/3 + 2 x ^ 5/15 + … #

# => cos ^ 2 (x) = 1 - x ^ 2 + x ^ 4 (1/4 + 2/24)

# = 1 - x ^ 2 + x ^ 4/3 … #

# => μαύρισμα (3x) = 3x + 9x ^ 3 + … #

(x * cos ^ 2 (x)) / (x + tan (3χ)) = #

# (x - x ^ 3 + x ^ 5/3 …) / (4x + 9x ^ 3 + …)

# x-> 0 => "υψηλότερες δυνάμεις εξαφανίζονται" #

# = (x - …) / (4χ + …) #

#= 1/4#

Απάντηση:

Παρακαλούμε δείτε παρακάτω.

Εξήγηση:

# (xcos ^ 2x) / (x + tan3x) = 1 / (1+ (sin3x) / (xcos3x)

# = 1 / (1 + 3 ((sin3x) / (3χ)) * 1 / (cos3x)

Σημειώστε ότι #img (xrarr0) (sin3x) / (3χ) = 1 # και #lim_ (xrarr0) cosx = 1 #

Έτσι στο όριο, έχουμε:

#1/(1+3(1) * 1/1) * (1)^2 = 1/(1+3) = 1/4#