Πώς βρίσκετε τον όγκο του στερεού που παράγεται περιστρέφοντας την περιοχή που οριοθετείται από τις καμπύλες y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) περιστρέφονται γύρω από το y =

Απάντηση:

# V = 685 / 32pi # κυβικών μονάδων

Εξήγηση:

Αρχικά, σχεδιάστε τα γραφήματα.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

#Χ#-συλλαμβάνω εις τον δρόμον

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # Και το έχουμε # {(x = 0), (x = 1):} #

Συνεπώς, οι παρακολουθήσεις είναι #(0,0)# και #(1,0)#

Αποκτήστε την κορυφή:

(x-1/2) ^ 2 = (2) = 2 (x-1/2)

Έτσι η κορυφή είναι στο #(1/2,-1/4)#

Επανάληψη προηγούμενου:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # Και το έχουμε (x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)): # #

Συνεπώς, οι παρακολουθήσεις είναι # (sqrt (3), 0) # και # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Έτσι η κορυφή είναι στο #(0,3)#

Αποτέλεσμα:

Πώς να αποκτήσετε τον όγκο; Θα χρησιμοποιήσουμε το δίσκου!

Αυτή η μέθοδος είναι απλά ότι: # "Όγκος" = piint_a ^ από ^ 2dx #

Η ιδέα είναι απλή, ωστόσο πρέπει να την χρησιμοποιήσετε έξυπνα.

Και αυτό θα κάνουμε.

Ας τηλεφωνήσουμε στον τόμο μας # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y2) ^ 2dx #

Σημείωση: παίρνω # (4-γ) # επειδή # y # είναι μόνο η απόσταση από το #Χ#-αξία στην καμπύλη, ενώ θέλουμε την απόσταση από τη γραμμή # y = 4 # στην καμπύλη!

Τώρα για να βρείτε #ένα# και #σι#, εξισώνουμε # y_1 # και # y_2 # και στη συνέχεια να λυθεί για #Χ#

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

(X = 1): # => (2x-3) (x + 1) = 0 => {

Από #ένα# έρχεται πριν #σι#, # => α = -1 # και # b = 1,5 #

= = V_1 = piint _ (-1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = x ^ 2 + χ-4) ^ 2dx #

= = piint (-1) ^ (1.5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Κάνετε το ίδιο για # V_2 #:

(1 + χ-4) ^ (2) = (2) = (1) 2dx #

= = piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x3)

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = χρώμα (μπλε) ((685pi) / 32) #

Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των κυλινδρικών κελυφών για να βρείτε τον όγκο που δημιουργείται γ περιστρέφοντας την περιοχή που οριοθετείται από τις δεδομένες καμπύλες γύρω από τον άξονα x;

Δείτε την παρακάτω απάντηση:

Πώς βρίσκετε τον όγκο του στερεού που παράγεται περιστρέφοντας την περιοχή που οριοθετείται από τα γραφήματα των εξισώσεων y = sqrtx, y = 0 και x = 4 γύρω από τον άξονα y;

V = 8pi μονάδες όγκου Ουσιαστικά το πρόβλημα που έχετε είναι: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Θυμηθείτε ότι ο όγκος ενός στερεού δίνεται από: V = piint (f (x) το αρχικό μας Intergral αντιστοιχεί: V = piint_0 ^ 4 (x) dx Το οποίο με τη σειρά του είναι ίσο με: V = pi [x ^ 2 / (2)] x = 0 ως ανώτερο όριο και x = Χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα του Λογισμού αντικαθιστούμε τα όριά μας στην ολοκληρωμένη μας έκφραση αφαιρώντας το κατώτατο όριο από το ανώτερο όριο. V = pi [16 / 2-0] V = μονάδες έντασης 8pi

Πώς βρίσκετε τον όγκο του στερεού που λαμβάνεται περιστρέφοντας την περιοχή που οριοθετείται από y = x και y = x ^ 2 γύρω από τον άξονα x;

V = (2pi) / 15 Πρώτα χρειαζόμαστε τα σημεία όπου x και x ^ 2 πληρούν. x = x ^ 2 x ^ xx = 0 x (x-1) = 0 x = 0 ή 1 Έτσι τα όριά μας είναι 0 και 1. Όταν έχουμε δύο λειτουργίες για τον όγκο, χρησιμοποιούμε: V = piint_a ^ b (x) ^ 2-g (x) ^ 2) dx V = piint_0 ^ 1 (x ^ 2-x ^ 4) dx V = pi (1 / 3-1 / 5) = (2pi) / 15