Αφήστε phi_n να είναι η κανονικά κανονικοποιημένη nη ενεργειακή λειτουργία του αρμονικού ταλαντωτή και αφήστε psi = hatahata ^ (†) phi_n. Τι είναι το psi ισοδύναμο;

Εξετάστε τον αρμονικό ταλαντωτή Hamiltonian …

#hatH = hatp ^ 2 / (2mu) + 1 / 2muomega ^ 2hatx ^ 2 #

# = 1 / (2 μι) (hatp ^ 2 + mu ^ 2omega ^ 2 hatx ^ 2) #

Τώρα, ορίστε την υποκατάσταση:

#hatx "'" = hatxsqrt (muomega) ##' '' '' '##hatp "'" = hatp / sqrt (muomega) #

Αυτό δίνει:

(2m) (hatp '' "^ 2 cdot muomega + mu ^ 2omega ^ 2 (hatx" '"^ 2) / (muomega)) #

# = ωμέγα / 2 (hatp "'" ^ 2 + hatx "'" ^ 2) #

Στη συνέχεια, εξετάστε την αντικατάσταση όπου:

#hatx "'" "= (hatx"' ") / sqrt (ℏ) ##' '' '' '##hatp "'" "= (hatp"' ") / sqrt (ℏ) #

έτσι ώστε "" hatp "" hatp "" hatp "" hatp "" hatp ". Αυτό δίνει:

#hatH = ωμέγα / 2 (hatp "'" ^ 2cdotℏ + hatx "'" ^ ^ 2cdotℏ) #

# = 1 / 2ℏomega (hatp "'" ^ 2 + hatx "'" ^ 2) #

Από ###################### και #hatx "'" "^ 2 # μπορεί να ενσωματωθεί σε ένα προϊόν σύνθετων συζευγμάτων, να ορίσει τους χειριστές της σκάλας

# hata = (hatx "'" "+ ihatp"' ") / sqrt2 ##' '' '' '## hata ^ (†) = (hatx "'" "- ihatp"' ") / sqrt2 #

έτσι ώστε:

################################################################################################################################# #

(2) (2) (2) (2) (h)

Από # - hatx "" ", hatp" '" = hatp"' "" hatx ", ο δεξιότερος όρος είναι #1/2#. Με επιθεώρηση,

#hatH = ℏomega (hatahata ^ (†) - 1/2) #

Μπορεί να αποδειχθεί ότι # hata, hata ^ (†) = 1 #, Έτσι

# hatahata ^ (†) - hata ^ (†) hata = 1 #

# => hatahata ^ (†) = 1 + hata ^ (†) hata #

και έτσι:

#color (πράσινο) (hatH = ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2)) #

Εδώ αναγνωρίζουμε τη μορφή του ενέργεια να είναι:

#E_n = ℏomega (n + 1/2) #

δεδομένου ότι από αυτή τη μορφή είναι σαφές ότι με

#hatHphi_n = Ephi_n #,

το έχουμε μόνο

# ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2) phi_n = ℏomega (n + 1/2) phi_n #

Έτσι, το αριθμός χειριστή μπορεί να οριστεί ως:

#hatN = hata ^ (†) hata #

του οποίου η ιδιοτιμή είναι ο κβαντικός αριθμός # n # για αυτό το eigenstate.

Ως εκ τούτου,

#color (μπλε) (psi_n = hatahata ^ (†) phi_n) #

# = (1 + hata ^ (†) hata) phi_n #

# = (1 + hatN) phi_n #

# = χρώμα (μπλε) ((1 + n) phi_n) #