Ένα δελτίο γίνεται τυχαία από μια τσάντα που περιέχει 30 εισιτήρια που αριθμούνται από το 1 έως το 30. Πώς βρίσκετε την πιθανότητα ότι είναι πολλαπλάσιο των 2 ή 3;

Απάντηση:

#2/3#

Εξήγηση:

Εξετάστε τις ακολουθίες:

Πολλαπλάσια του 2#->#2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30

Πολλαπλάσια του 3# -> 3, χρώμα (κόκκινο) (6), 9, χρώμα (κόκκινο) (12), 15, χρώμα (κόκκινο) (18), 21, χρώμα (κόκκινο) (24), 27 30) #

Παρατηρήστε ότι πολλαπλάσια των 3 με κόκκινο χρώμα εμφανίζονται επίσης σε πολλαπλάσια των 2.

Έτσι ο συνολικός αριθμός του διαθέσιμου αριθμού είναι 15 + 5 = 20

Έτσι η πιθανότητα είναι #20/30=2/3#

Απάντηση:

Η πιθανότητα είναι #2/3#.

Εξήγηση:

Χρησιμοποιούμε το αθροιστική πιθανότητα, το οποίο δηλώνει ότι για οποιεσδήποτε δύο εκδηλώσεις #ΕΝΑ# και #ΣΙ#,

# Ρ (Α "ή" Β ") = Ρ (Α) + Ρ (Β) -Ρ (Α" και Β)

Ας δείξουμε αυτό με την παραπάνω ερώτηση ως παράδειγμα.

Για αυτήν την ερώτηση, αφήσαμε #ΕΝΑ# είναι το γεγονός ότι ένα εισιτήριο είναι πολλαπλάσιο του 2, και αφήσαμε #ΣΙ# είναι το γεγονός ότι είναι ένα πολλαπλάσιο των 3. Από τις 30 κάρτες, οι μισοί από αυτούς θα είναι πολλαπλάσιο των 2: #{2, 4, 6, …, 28, 30}.# Έτσι έχουμε:

# Ρ (Α) = 15/30 = 1/2 #

Και από τις 30 κάρτες, 10 θα είναι πολλαπλάσια των 3: #{3, 6, 9, …, 27, 30},# δίνοντάς μας

# Ρ (Β) = 10/30 = 1/3 #

Τώρα, αν προσθέσουμε αυτές τις δύο πιθανότητες μαζί, έχουμε

# Ρ (Α) + Ρ (Β) = 15/30 + 10/30 #

#color (λευκό) (P (A) + P (B)) = 25 / 30color (λευκό) "XXXX" = 5 /

Μπορεί να μπουν στον πειρασμό να σταματήσουμε εκεί, αλλά θα κάναμε λάθος. Γιατί; Επειδή έχουμε διπλάσιο τις πιθανότητες να πάρει μερικούς από τους αριθμούς. Όταν κατατάσσουμε τα δύο σετ, είναι εύκολο να δούμε ποια είναι αυτά:

2, χρώμα (άσπρο) (3,) 4, χρώμα (άσπρο) (5,) 6, χρώμα (άσπρο) (7,) 8, χρώμα 10, χρώμα (άσπρο) (11,) 12, …, χρώμα (άσπρο) (27, 28), χρώμα (άσπρο)

(4, 5, 6), χρώμα (άσπρο) (7, 8,) 9, χρώμα (άσπρο) (10, 11,) 12, …, 27, χρώμα (άσπρο) (28, 29,) 30} #

Έχουμε υπολογίσει διπλά όλα τα πολλαπλάσια των 6-δηλαδή, όλοι οι αριθμοί που είναι πολλαπλοί τόσο 2 όσο και 3. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο χρειαζόμαστε αφαιρέστε την πιθανότητα "Α και Β" από το παραπάνω ποσό. καταργεί τη διπλή καταμέτρηση οποιουδήποτε κοινού αποτελέσματος #ΕΝΑ# και #ΣΙ#.

Τι είναι # Ρ (Α "και" Β ") #; Είναι η πιθανότητα το εισιτήριο να είναι ταυτόχρονα πολλαπλάσιο των 2 και των 3 - με άλλα λόγια, ένα πολλαπλάσιο των 6. Στα 30 εισιτήρια υπάρχουν 5 τέτοια αποτελέσματα, έτσι ώστε:

# Ρ (Α "και" Β ") = 5/30 = 1/6 #

Επιστρέφοντας στον αρχικό μας τύπο, έχουμε

# Ρ (Α "ή" Β ") = Ρ (Α) + Ρ (Β) -Ρ (Α" και Β)

#color (λευκό) (P (A "ή" B ")) = 15/30 + 10 / 30-5 / 30 #

#color (λευκό) (P (A "ή" B ")) = 20 / 30color (λευκό)" XXXXXXXi "= 2 /.