Δύο γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι στα (8, 3) και (5, 4). Εάν η περιοχή του τριγώνου είναι 15, ποια είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου;

Απάντηση:

#sqrt (10), 5sqrt (3.7), 5sqrt (3.7) ~ = 3.162,9.618,9.618 #

Εξήγηση:

Το μήκος της δεδομένης πλευράς είναι

# s = sqrt ((5-8) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10) ~ =

Από τον τύπο της περιοχής του τριγώνου:

# S = (b * h) / 2 # => # 15 = (sqrt (10) * h) / 2 # => # h = 30 / sqrt (10) ~ = 9,487 #

Δεδομένου ότι το σχήμα είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο θα μπορούσαμε να έχουμε Περίπτωση 1, όπου η βάση είναι η μοναδική πλευρά, που απεικονίζεται στο σχήμα (α) παρακάτω

Ή θα μπορούσαμε να έχουμε Περίπτωση 2, όπου η βάση είναι μία από τις ίσες πλευρές, που απεικονίζονται στα Σχ. (β) και (γ) παρακάτω

Για αυτό το πρόβλημα ισχύει η περίπτωση 1, διότι:

#tan (άλφα / 2) = (a / 2) / h # => # h = (1/2) a / tan (άλφα / 2) #

Υπάρχει όμως μια προϋπόθεση για την εφαρμογή της περίπτωσης 2:

#sin (βήτα) = h / b # => # h = bsin beta #

Η # h = bsin gamma #

Από την υψηλότερη τιμή #sin beta # ή #sin γάμμα # είναι #1#, η υψηλότερη τιμή του # h #, στην υπόθεση 2, πρέπει να είναι #σι#.

Στο παρόν πρόβλημα h είναι μακρύτερο από την πλευρά στην οποία είναι κάθετη, έτσι για αυτό το πρόβλημα ισχύει μόνο η περίπτωση 1.

Λύση που εξετάζει Περίπτωση 1 (Σχήμα (α))

# b ^ 2 = h ^ 2 + (a / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = (30 / sqrt (10)) ^ 2+ (sqrt (10) / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = 900/10 + 10/4 = (900 + 25) / 10 = 925/10 # => # b = sqrt (92.5) = 5sqrt (3.7) ~ = 9.618 #