Εξετάστε 3 ίσους κύκλους ακτίνας r μέσα σε ένα δεδομένο κύκλο ακτίνας R το καθένα για να ακουμπήσετε τα άλλα δύο και τον δεδομένο κύκλο όπως φαίνεται στο σχήμα, τότε η περιοχή της σκιασμένης περιοχής είναι ίση με?

Μπορούμε να σχηματίσουμε μια έκφραση για την περιοχή της σκιασμένης περιοχής όπως αυτή:

#A_ "σκιασμένη" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "κέντρο" #

όπου #A_ "κέντρο" # είναι η περιοχή του μικρού τμήματος μεταξύ των τριών μικρότερων κύκλων.

Για να βρούμε την περιοχή αυτού, μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο συνδέοντας τα κέντρα των τριών μικρότερων λευκών κύκλων. Από κάθε κύκλο έχει ακτίνα # r #, το μήκος κάθε πλευράς του τριγώνου είναι # 2r # και το τρίγωνο είναι ισόπλευρο έτσι έχουν γωνίες # 60 ^ o # καθε.

Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι η γωνία της κεντρικής περιοχής είναι η περιοχή αυτού του τριγώνου μείον τους τρεις τομείς του κύκλου. Το ύψος του τριγώνου είναι απλά #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, έτσι η περιοχή του τριγώνου είναι # 1/2 * βάση * ύψος = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Η περιοχή των τριών κυκλικών τμημάτων μέσα σε αυτό το τρίγωνο είναι ουσιαστικά η ίδια περιοχή με το ήμισυ ενός από τους κύκλους (λόγω της ύπαρξης γωνιών # 60 ^ o # κάθε, ή #1/6# ένα κύκλο, έτσι μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η συνολική έκταση αυτών των τομέων είναι # 1/2 pir ^ 2 #.

Τέλος, μπορούμε να επεξεργαστούμε την περιοχή της κεντρικής περιοχής #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2)

Έτσι επιστρέφοντας στην αρχική μας έκφραση, η περιοχή της σκιασμένης περιοχής είναι

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Απάντηση:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) -1) pi - sqrt (3)

Εξήγηση:

Ας δώσουμε στους λευκούς κύκλους μια ακτίνα # r = 1 #. Τα κέντρα σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς #2#. Κάθε διάμεσος / ύψος είναι #sqrt {3} # έτσι η απόσταση από μια κορυφή στο κεντροειδές είναι # 2/3 sqrt {3} #.

Το κέντρο είναι το κέντρο του μεγάλου κύκλου, γι 'αυτό είναι η απόσταση μεταξύ του κέντρου του μεγάλου κύκλου και του κέντρου του μικρού κύκλου. Προσθέτουμε μια μικρή ακτίνα # r = 1 # να πάρω

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Η περιοχή που αναζητούμε είναι η περιοχή του μεγάλου κύκλου χωρίς το ισόπλευρο τρίγωνο και τα υπόλοιπα #5/6# από κάθε μικρό κύκλο.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r)

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Μεγάλουμε με # r ^ 2 # γενικά.