Το τρίγωνο Α έχει μια περιοχή 24 και δύο πλευρές μήκους 8 και 15. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει πλευρά με μήκος 12. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Απάντηση:

Με το τετράγωνο του #12/8# ή το τετράγωνο του #12/15#

Εξήγηση:

Γνωρίζουμε ότι το τρίγωνο Α έχει σταθερές εσωτερικές γωνίες με τις δεδομένες πληροφορίες. Αυτή τη στιγμή ενδιαφέρουμε μόνο για το γωνία μεταξύ των μηκών #8&15#.

Αυτή η γωνία είναι στη σχέση:

#Area_ (τρίγωνο Α) = 1 / 2xx8xx15sinx = 24 #

Ως εκ τούτου:

# x = Arcsin (24/60) #

Με αυτή τη γωνία, μπορούμε τώρα να βρούμε το μήκος του τρίτου βραχίονα # triangle A # χρησιμοποιώντας τον κανόνα συνημιτόνου.

# L ^ 2 = 8 ^ 2 + 15 ^ 2-2xx8xx15cosx #. Από #Χ# είναι ήδη γνωστό, # L = 8.3 #.

Από # triangle A #, γνωρίζουμε τώρα με βεβαιότητα ότι το τα μακρύτερα και βραχύτερα όπλα είναι 15 και 8 αντίστοιχα.

Παρόμοια τρίγωνα θα έχουν τις αναλογίες των βραχιόνων τους να επεκτείνονται ή να συστέλλονται με σταθερό λόγο. Αν ένα βραχίονα διπλασιάζεται σε μήκος, και τα άλλα χέρια διπλασιάζονται. Για την περιοχή ενός παρόμοιου τριγώνου, εάν το μήκος των βραχιόνων είναι διπλό, η περιοχή είναι μεγαλύτερο μέγεθος κατά συντελεστή 4.

#Area_ (τρίγωνο Β) = r ^ 2xxArea_ (τρίγωνο Α) #.

# r # είναι η αναλογία οποιασδήποτε πλευράς του Β προς την ίδια πλευρά του Α.

Μια παρόμοια #triangle B # με μια απροσδιόριστη πλευρά 12 θα έχει μια μέγιστη περιοχή εάν η αναλογία είναι η μεγαλύτερη δυνατή ως εκ τούτου # r = 12/8 #. Ελάχιστη δυνατή περιοχή αν # r = 12/15 #.

Συνεπώς, η μέγιστη επιφάνεια του B είναι 54 και η ελάχιστη περιοχή είναι 15.36.