Έστω f: Rise ορίζεται από R σε R. find το διάλυμα του f (x) = f ^ -1 (x)?

Απάντηση:

# f (x) = x #

Εξήγηση:

Επιδιώκουμε μια λειτουργία #f: RR rarr RR # έτσι ώστε η λύση # f (x) = f ^ (- 1) (x) #

Αυτό επιδιώκουμε μια λειτουργία που είναι δική της αντίστροφη. Μια προφανής τέτοια λειτουργία είναι η ασήμαντη λύση:

# f (x) = x #

Ωστόσο, μια πιο εμπεριστατωμένη ανάλυση του προβλήματος έχει μεγάλη πολυπλοκότητα όπως διερευνήθηκε από τον Ng Wee Leng και τον Ho Foo Him όπως δημοσιεύθηκε στην Εφημερίδα της Ένωσης Καθηγητών Μαθηματικών.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Απάντηση:

Ελέγξτε παρακάτω.

Εξήγηση:

Τα κοινά σημεία μεταξύ # C_f # και # C_ (f ^ (- 1)) # αν υπάρχουν δεν είναι πάντα στο διχοτόμο # y = x #. Ακολουθεί ένα παράδειγμα μιας τέτοιας λειτουργίας: # f (x) = 1-x ^ 2 # #color (λευκό) (α) #, #Χ##σε## 0, + oo) #

γράφημα {((γ- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7.02, 7.03, -5.026, 1.994}

Εντούτοις, είναι μόνο στο bisector και μόνο αν #φά# είναι # # αυξάνεται.

Αν #φά# αυξάνεται αυστηρά τότε # f (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># # f (x) = x #

Αν #φά# δεν αυξάνεται αυστηρά τα κοινά σημεία που βρέθηκαν με την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων

(x = f ((1) (y) "")): # #<=># (x = f (y) "")): # #<=>…#

Απάντηση:

# f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> x = 1 #

Εξήγηση:

# f (x) = x ^ 3 + x-1 # #color (λευκό) (αα) #, #Χ##σε## RR #

# f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #color (λευκό) (αα) #, # AA ##Χ##σε## RR #

Έτσι #φά# είναι # # σε # RR #. Ως αυστηρά μονότονη λειτουργία είναι επίσης "#1-1#"και ως μία προς μία λειτουργία έχει ένα αντίστροφο.

Πρέπει να λύσουμε την εξίσωση # f ^ (- 1) (x) = f (x) # (f) f (x) = x # #<=>#

# x ^ 3 + x-1 = x # #<=># # x ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (x ^ 2 + x + 1> 0) #

# x = 1 #