Τι είναι το ολοκλήρωμα του int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

Απάντηση:

(1 + e ^ (2x)) + 1 () + + (1 + e ^ (2x) ^ (2χ)) + C #

Εξήγηση:

Αρχικά αντικαθιστούμε:

# u = e ^ (2x) +1, e ^ (2x) = u-1 #

# (du) / (dx) = 2e ^ (2χ) · dx = (du) / (2e ^ (2χ)) #

(u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt

Εκτελέστε μια δεύτερη υποκατάσταση:

# v ^ 2 = u; v = sqrt (u) #

# 2v (dv) / (du) = 1 · du = 2vdv #

# 1 / 2intv / (ν ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (ν ^ 2-1) dv = int1 + 1 /

Διαχωρισμός με μερικά κλάσματα:

# 1 / ((ν + 1) (ν-1)) = Α / (ν + 1) + Β / (ν-1)

# 1 = Α (ν-1) + Β (ν + 1) #

# v = 1 #:

# 1 = 2Β #, # Β = 1/2 #

# v = -1 #:

# 1 = -2Α #, # Α = -1 / 2 #

Τώρα έχουμε:

# 1 / (2 (ν + 1)) + 1 / (2 (ν-1)) #

1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 (abs (ν + 1)) + ln (abs (ν-1)) + ν +

Αντικατάσταση στο # v = sqrt (u) #:

(U)) + ln (abs (sqrt (u) -1)) + sqrt (u) + C #

Αντικατάσταση στο # u = 1 + e ^ (2χ) #

(1 + e ^ (2x)) + 1 () + + (1 + e ^ (2x) ^ (2χ)) + C #