Ποιο είναι το παράγωγο του f (x) = sec ^ -1 (x);

# d / dx sec ^ -1x = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Επεξεργάζομαι, διαδικασία:

Πρώτον, θα κάνουμε λίγο πιο εύκολη την εξισορρόπηση. Πάρτε το secante και των δύο πλευρών:

# y = sec ^ -1 x #

#sec y = x #

Στη συνέχεια, ξαναγράψτε με όρους # cos #:

# 1 / cos y = x #

Και λύστε για # y #:

# 1 = xcosy #

# 1 / x = ζεστό #

# y = arccos (1 / x) #

Τώρα αυτό φαίνεται πολύ πιο εύκολο να διαφοροποιηθεί. Ξέρουμε ότι

# d / dx arccos (άλφα) = -1 / (sqrt (1-άλφα ^ 2)) #

έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την ταυτότητα καθώς και τον κανόνα της αλυσίδας:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / χ) ^ 2) * d / dx

Λίγη απλοποίηση:

# dy / dx = -1 / sqrt (1-1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) #

Λίγο πιο απλοποίηση:

# dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Για να κάνω την εξίσωση λίγο πιο όμορφη θα μετακινήσω την # x ^ 2 # μέσα στο ριζικό:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2)

Κάποια τελική μείωση:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Και υπάρχει παράγωγό μας.

Όταν διαφοροποιούμε τις αντιστρεπτικές λειτουργίες trig, το κλειδί τους παίρνει σε μια μορφή που είναι εύκολο να αντιμετωπιστεί. Πάνω απ 'οτιδήποτε άλλο, είναι μια άσκηση στις γνώσεις σας σχετικά με τις τριτογενείς ταυτότητες και την αλγεβρική χειραγώγηση.