Πώς βρίσκετε τον τύπο του MacLaurin για το f (x) = sinhx και τον χρησιμοποιείτε για να προσεγγίσετε το f (1/2) στο 0,01;

Απάντηση:

#sinh (1/2) ~~ 0,52 #

Εξήγηση:

Γνωρίζουμε τον ορισμό για #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Δεδομένου ότι γνωρίζουμε τη σειρά Maclaurin για # e ^ x #, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να κατασκευάσουμε ένα #sinh (x) #.

= e ^ x = αθροιστικό (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2 /

Μπορούμε να βρούμε τη σειρά για # e ^ -x # αντικαθιστώντας #Χ# με #-Χ#:

(n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) -x + χ ^ 2/2-χ ^ 3 / (3!) … #

Μπορούμε να αφαιρέσουμε αυτά τα δύο από το άλλο για να βρούμε τον αριθμητή του # sinh # ορισμός:

(x) = x = x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + Χ ^ 5 / (5!) … #

#color (λευκό) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 /) … #

(άσπρος) (lllllllll) + (2χ ^ 3) / (3!) χρώμα (άσπρο) (lllllll) + (2χ ^ 5) / (5!) … #

Μπορούμε να δούμε ότι όλοι οι όμοιοι όροι ακυρώνονται και όλοι οι περίεργοι όροι είναι διπλοί. Μπορούμε να αναπαριστούμε αυτό το μοτίβο έτσι όπως:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n +

Για να ολοκληρώσετε το #sinh (x) # πρέπει απλώς να το διαιρέσουμε #2#:

(2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = # (e ^ x-e ^ -x)

(2n + 1) / ((2n + 1)) = x + x ^ 3 / (3) + x ^ 5 /

Τώρα θέλουμε να υπολογίσουμε #f (1/2) # με ακρίβεια τουλάχιστον #0.01#. Γνωρίζουμε αυτή τη γενική μορφή του σφάλματος Lagrange που προορίζεται για ένα πολυώνυμο taylor n βαθμού περίπου # x = c #:

(N + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | # όπου # M # είναι ένα ανώτερο όριο για το nth παράγωγο στο διάστημα από #ντο# προς το #Χ#.

Στην περίπτωσή μας, η επέκταση είναι μια σειρά Maclaurin, έτσι # c = 0 # και # x = 1 / 2 #:

(N + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Τα παράγωγα υψηλότερης τάξης του #sinh (x) # θα είναι είτε #sinh (x) # ή #cosh (x) #. Αν εξετάσουμε τους ορισμούς γι 'αυτούς, το βλέπουμε αυτό #cosh (x) # θα είναι πάντα μεγαλύτερο από #sinh (x) #, οπότε θα πρέπει να το επεξεργαστούμε # M #-κατευθύνομαι για #cosh (x) #

Η συνάρτηση υπερβολικού συνημίτονου αυξάνεται πάντα, οπότε η μεγαλύτερη τιμή στο διάστημα θα είναι στο #1 / 2#:

(1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) # #

Τώρα συνδέουμε αυτό στο Lagrange error bound:

(N + 1)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1)

Θέλουμε # | R_n (x) | # να είναι μικρότερο από #0.01#, οπότε προσπαθούμε μερικά # n # μέχρις ότου φτάσουμε σε αυτό το σημείο (το μικρότερο ποσό των όρων στο πολυώνυμο, τόσο το καλύτερο). Το βρίσκουμε # n = 3 # είναι η πρώτη τιμή που θα μας δώσει ένα σφάλμα μικρότερο από #0.01#, οπότε πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα πολυώνυμο Taylor 3ου βαθμού.

(2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0,52 #