Πώς να μετατρέψετε r = 7 / (5-5costheta) σε ορθογώνια μορφή;

Απάντηση:

Αυτή είναι η πλάγια παραβολή # 70 χ = 25 y ^ 2-49. # #

Εξήγηση:

Αυτό είναι ενδιαφέρον, διότι απλώς αποκλίνει. το ελάχιστο του παρανομαστή είναι μηδέν. Είναι μια κωνική ενότητα. το μόνο αποκλίνον νομίζω ότι το καθιστά παραβολάκι. Αυτό δεν πειράζει πολύ, αλλά μας λέει ότι μπορούμε να έχουμε μια συμπαθητική αλγεβρική μορφή χωρίς λειτουργίες σφήνας ή τετραγωνικές ρίζες.

Η καλύτερη προσέγγιση είναι η στροφή προς τα πίσω. χρησιμοποιούμε τις πολικές σε ορθογώνιες αντικαταστάσεις όταν φαίνεται ότι ο άλλος τρόπος θα ήταν πιο άμεσος.

# x = r cos theta #

# y = r sin theta #

Έτσι 2 = y ^ 2 (cos ^ 2theta + sin ^ 2theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Βλέπουμε #r> 0. # Αρχίζουμε με την εκκαθάριση του κλάσματος.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

Έχουμε ένα # r cos theta # έτσι είναι #Χ.#

# 5 r - 5 χ = 7 #

# 5r = 5 χ + 7 #

Η αρχική μας παρατήρηση ήταν # r> 0 # έτσι τετράγωνο είναι εντάξει.

# 25 r ^ 2 = (5χ + 7) ^ 2 #

Τώρα αντικαθιστούμε ξανά.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5χ + 7) ^ 2 #

Από τεχνική άποψη απαντήσαμε στην ερώτηση σε αυτό το σημείο και μπορούμε να σταματήσουμε εδώ. Αλλά υπάρχει ακόμα άλγεβρα για να κάνει, και ελπίζουμε ότι μια ανταμοιβή στο τέλος: ίσως μπορούμε να δείξουμε ότι αυτό είναι στην πραγματικότητα μια παραβολή.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 χ + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 χ #

# x = 1/70 (25 y ^ 2-49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

γράφημα {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17.35, 50, -30, 30}

Ναι, αυτή είναι μια παραβολή, περιστρεφόμενη # 90 ^ circ #από τον συνήθη προσανατολισμό.

Ελέγξτε: Alpha eyball