Ποιο είναι το μήκος τόξου του r (t) = (t, t, t) στον κασσίτερο [1,2]?

Απάντηση:

#sqrt (3) #

Εξήγηση:

Επιδιώκουμε το μήκος τόξου της συνάρτησης διανυσμάτων:

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # Για #t σε 1,2 #

Ποια μπορούμε εύκολα να αξιολογήσουμε χρησιμοποιώντας:

# L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) | dt #

Έτσι υπολογίζουμε το παράγωγο, # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

Έτσι κερδίζουμε το μήκος του τόξου:

# L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# = sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# = sqrt (3) (2-1) #

# = sqrt (3) #

Αυτό το ασήμαντο αποτέλεσμα δεν πρέπει να αποτελεί έκπληξη, καθώς η δεδομένη αρχική εξίσωση είναι αυτή της ευθείας γραμμής.