Πώς λύνετε 1 = κούνια ^ 2 x + csc x;

Απάντηση:

# x = (- 1) ^ k (-pi / 6) + kpi #

Για #k σε ZZ #

Εξήγηση:

# κούνια ^ 2x + cscx = 1 #

Χρησιμοποιήστε την ταυτότητα: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

# => κούνια ^ 2x + 1 = csc ^ 2x #

# => κούνια ^ 2x = csc ^ 2x-1 #

Αντικαταστήστε αυτό στην αρχική εξίσωση, # csc ^ 2x-1 + cscx = 1 #

# => csc ^ 2x + cscx-2 = 0 #

Αυτή η τετραγωνική εξίσωση στη μεταβλητή # cscx # Έτσι μπορείτε να εφαρμόσετε την τετραγωνική φόρμουλα, #csx = (- 1 + -sqrt (1 + 8)) / 2 #

# => cscx = (- 1 + -3) / 2 #

Υπόθεση #(1):#

#cscx = (- 1 + 3) / 2 = 1 #

Θυμηθείτε ότι: # cscx = 1 / sinx #

= 1 / sin (x) = 1 => sin (x) = 1 => x = pi / 2 #

Γενική λύση (1): # x = (- 1) ^ n (pi / 2) + npi #

Πρέπει να απορρίψουμε (παραμελούν) αυτές τις αξίες επειδή το #κρεβατάκι# δεν ορίζεται για πολλαπλάσια του # pi / 2 # !

Υπόθεση #(2):#

#cscx = (- 1-3) / 2 = -2 #

= 1 / sin (x) = - 2 => sin (x) = - 1/2 = x = -pi /

Γενική λύση (2): # x = (- 1) ^ k (-pi / 6) + kpi #

Απάντηση:

Επίλυση κούνιας ^ 2 x + csc x = 1

Ans: # (pi) / 2. (7pi) / 6 και (11pi) / 6 #

Εξήγηση:

# cos ^ 2x / sin ^ 2x + 1 / sin x = 1 #

# cos ^ 2x + sin x = sin ^ 2 x #

# (1 - sin ^ 2 x) + sin x = sin ^ 2 x #

# 2 με ^ 2 x - sin x - 1 = 0 -> 2t ^ 2 - t - 1 = 0 # - Κλήση της αμαρτίας x = t

Από το a + b + c = 0, χρησιμοποιήστε τη συντόμευση: 2 πραγματικές ρίζες είναι:

t = 1 και # t = -1 / 2 #

ένα. t = sin x = 1 -> # x = pi / 2 #

σι. #sin x = - 1/2 # --> # x = (7pi) / 6 # και # x = (11pi) / 6 #