Το τρίγωνο Α έχει μια έκταση 12 και δύο πλευρές μήκους 4 και 8. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει πλευρά μήκους 7. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Απάντηση:

#A_ "Bmin" ~ ~ 4,8 #

# Α_ "Bmax" = 36,75 #

Εξήγηση:

Πρώτα πρέπει να βρείτε τα μήκη πλευράς για το μέγιστο μέγεθος τριγώνου Α, όταν η μεγαλύτερη πλευρά είναι μεγαλύτερη από 4 και 8 και το τρίγωνο ελάχιστου μεγέθους, όταν το 8 είναι η μακρύτερη πλευρά.

Για να γινει αυτο χρησιμοποιήστε τον τύπο της Heron's Area: #s = (α + β + γ) / 2 # όπου # a, b, & c # είναι τα πλευρικά μήκη του τριγώνου:

# Α = sqrt (s-a) (s-b) (s-c)) #

Αφήνω #a = 8, b = 4 "&" c "είναι άγνωστα μήκη πλευράς" #

#s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c #

(6 + 1 / 2c-c)) #A_A = 12 = sqrt (6 + 1 / 2c)

(2 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c)) #A_A = 12 = sqrt

Τετράγωνο και στις δύο πλευρές:

# 144 = (6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c)

Τραβήξτε ένα 1/2 από κάθε παράγοντα:

# 144 = 1/16 (12 + γ) (4 + γ) (- 4 + c) (12-c)

Απλοποιώ:

# 2304 = (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

# 2304 = (48 + 8c-c ^ 2) (- 48 + 8c + c ^ 2) #

# 2304 = -2304 + 384c + 48c ^ 2 - 384c + 64c ^ 2 + 8c ^ 3 + 48c ^ 2-8c ^ 3-c ^

# c ^ 4 - 160c ^ 2 + 4608 = 0 #

*Υποκατάστατο # x = c ^ 2 *: "" x ^ 2 -160x + 4608 = 0 #

Χρησιμοποιήστε την ολοκλήρωση του τετραγώνου:

# (x ^ 2-160x) = -4608 #

# (χ - 160/2) ^ 2 = -4608 + (-160/2) ^ 2 #

# (χ-80) ^ 2 = 1792 #

Τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών

# x-80 = + -sqrt (1792) #

# x = 80 + -sqrt (16) sqrt (16) sqrt (7) #

# x = 80 + -16 sqrt (7) #

Υποκατάστατο # c ^ 2 = x #:

# c ^ 2 = 80 + -16 sqrt (7) #

#c = + - sqrt (80 + -16 sqrt (7)) #

Δεδομένου ότι τα μήκη πλευρών τριγώνου είναι θετικά πρέπει να αγνοήσουμε τις αρνητικές απαντήσεις:

Ελάχιστο και μέγιστο μήκος πλευράς του τριγώνου Α:

#c = sqrt (80 + -16 sqrt (7)) ~ ~ 6.137, 11.06 #

Από η περιοχή των τριγώνων είναι ανάλογη προς το τετράγωνο των πλευρικών μηκών μπορούμε να βρούμε τις μέγιστες και ελάχιστες περιοχές του τριγώνου Β:

# A_B / A_A = (7/4) ^ 2. "" Α_Β = (7/4) ^ 2 * 12 = 36,75 #

# A_B / A_A = (7/8) ^ 2. "" Α_Β = (7/8) ^ 2 * 12 = 9,1875 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 11.06) ^ 2; "" Α_Β ~~ (7 / 11,06) ^ 2 * 12 ~~ 4,8 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 6.137) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 6.137) ^ 2 * 12 ~ ~ 15.6 #

#A_ "Bmin" ~ ~ 4,8 #

# Α_ "Bmax" = 36,75 #

Το τρίγωνο Α έχει μια έκταση 12 και δύο πλευρές μήκους 6 και 9. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει πλευρά μήκους 12. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Μέγιστη επιφάνεια 48 και Ελάχιστη επιφάνεια 21.3333 ** Οι αποστάσεις A και B είναι παρόμοιες. Για να αποκτήσετε τη μέγιστη επιφάνεια του Δέλτα Β, η πλευρά 12 του Δέλτα Β πρέπει να αντιστοιχεί στην πλευρά 6 του Δέλτα Α. Οι πλευρές είναι στην αναλογία 12: 6. Συνεπώς οι περιοχές θα είναι σε αναλογία 12 ^ 2: 6 ^ 2 = 144: 36 Μέγιστη περιοχή τριγώνου B = (12 * 144) / 36 = 48 Ομοίως για να πάρει την ελάχιστη περιοχή, η πλευρά 9 του Delta A θα αντιστοιχεί στην πλευρά 12 του Δέλτα Β. Οι πλευρές είναι σε αναλογία 12: 9 και περιοχές 144: 81 Ελάχιστη περιοχή Delta B = (12 * 144) / 81 = 21,3333

Το τρίγωνο Α έχει μια έκταση 12 και δύο πλευρές μήκους 6 και 9. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει πλευρά μήκους 15. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Μέγιστη επιφάνεια τριγώνου B = 75 Ελάχιστη περιοχή τριγώνου B = 100/3 = 33.3 Παρόμοια τρίγωνα έχουν ταυτόσημες γωνίες και αναλογίες μεγέθους. Αυτό σημαίνει ότι η αλλαγή σε μήκος οποιασδήποτε πλευράς είτε μεγαλύτερη είτε μικρότερη θα είναι η ίδια για τις άλλες δύο πλευρές. Ως αποτέλεσμα, η περιοχή του παρόμοιου τριγώνου θα είναι επίσης αναλογία του ενός προς το άλλο. Έχει αποδειχθεί ότι αν ο λόγος των πλευρών παρόμοιων τριγώνων είναι R, τότε ο λόγος των περιοχών των τριγώνων είναι R ^ 2. Παράδειγμα: Για ένα τρίγωνο ορθής γωνίας 3,4,5, που κάθεται επάνω, είναι 3 βάσεις, η περιοχή μπορεί να υπολογιστεί εύκολα από το σχήμα A_A

Το τρίγωνο Α έχει μια έκταση 13 και δύο πλευρές μήκους 2 και 14. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει πλευρά μήκους 18. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Μέγιστη δυνατή περιοχή τριγώνου Β = 1053 Ελάχιστη πιθανή περιοχή τρίγωνου B = 21,4898 Οι Δέλτα Α και Β είναι παρόμοιες. Για να αποκτήσετε τη μέγιστη επιφάνεια του Δέλτα Β, η πλευρά 18 του Δέλτα Β πρέπει να αντιστοιχεί στην πλευρά 12 του Δέλτα Α. Οι πλευρές είναι στην αναλογία 18: 2 Συνεπώς οι περιοχές θα είναι σε αναλογία 18 ^ 2: 2 ^ 2 = 324: 4 Μέγιστη περιοχή του τριγώνου B = (13 * 324) / 4 = 1053 Ομοίως για να πάρει την ελάχιστη περιοχή, η πλευρά 14 του Delta A θα αντιστοιχεί στην πλευρά 18 του Δέλτα Β. Οι πλευρές είναι στην αναλογία 18:14 και στις περιοχές 324: 196 Ελάχιστη περιοχή Delta B = (13 * 324) / 196 = 21,4898