Το τρίγωνο Α έχει μια έκταση 12 και δύο πλευρές μήκους 6 και 9. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει πλευρά μήκους 15. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Απάντηση:

Μέγιστη έκταση # τρίγωνο B = 75 #

Ελάχιστη έκταση # τρίγωνο Β = 100/3 = 33,3 #

Εξήγηση:

Παρόμοια τρίγωνα έχουν ίδιες γωνίες και αναλογίες μεγέθους. Αυτό σημαίνει το αλλαγή σε μήκος οποιασδήποτε πλευράς είτε μεγαλύτερη είτε μικρότερη θα είναι η ίδια για τις άλλες δύο πλευρές. Ως αποτέλεσμα, η περιοχή του #similar τρίγωνο του # θα είναι επίσης αναλογία του ενός προς το άλλο.

Έχει αποδειχθεί ότι εάν η αναλογία των πλευρών παρόμοιων τριγώνων είναι R, τότε η αναλογία των περιοχών των τριγώνων είναι # R ^ 2 #.

Παράδειγμα: Για α # 3,4,5, ορθογώνιο τρίγωνο # καθισμένος είναι #3# βάση, η περιοχή του μπορεί να υπολογιστεί εύκολα # A_A = 1 / 2bh = 1/2 (3) (4) = 6 #.

Αλλά αν και οι τρεις πλευρές είναι διπλασιάστηκε σε μήκος, η περιοχή του νέου τριγώνου είναι # A_B = 1 / 2bh = 1/2 (6) (8) = 24 # το οποίο είναι #2^2# = 4Α_Α.

Από τις πληροφορίες που δίνονται, πρέπει να βρούμε τις περιοχές δύο νέων τριγώνων των οποίων οι πλευρές αυξάνονται από τις δύο # 6 ή 9 έως 15 # που είναι #παρόμοιος# στις δύο πρώτες.

Εδώ έχουμε # triangle # με μια περιοχή # Α = 12 # και τις πλευρές # 6 και 9. #

Εχουμε επισης μεγαλύτερος #similar τρίγωνο Β του # με μια περιοχή #ΣΙ# και πλευρά #15.#

Η αναλογία της μεταβολής στην περιοχή # τρίγωνο Α στο τρίγωνο Β # όπου πλευρά # 6 έως 15 # είναι τότε:

# τρίγωνο B = (15/6) ^ 2 τρίγωνο A #

# τρίγωνο Β = (15/6) ^ 2 (12) #

# τρίγωνο Β = (225 / (ακυρώστε (36) 3)) (ακυρώστε (12)) #

# τρίγωνο B = 75 #

Η αναλογία της μεταβολής στην περιοχή # τρίγωνο Α στο τρίγωνο Β # όπου πλευρά # 9 έως 15 # είναι τότε:

# τρίγωνο B = (15/9) ^ 2 τρίγωνο A #

# τρίγωνο Β = (15/9) ^ 2 (12) #

# τρίγωνο Β = (225 / (ακυρώστε (81) 27)) (ακυρώστε (12) 4) #

# τρίγωνο B = (ακύρωση (900) 100) / (ακύρωση (27) 3) #

# τρίγωνο Β = 100/3 = 33,3 #

Απάντηση:

Το ελάχιστο είναι #2.567# και το μέγιστο είναι #70.772#

Εξήγηση:

Η ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΑΚΑΘΑΡΙΣΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΙΝΑΙ ΑΝΑΓΚΗ ΑΝΑΚΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΠΛΗΣ ΕΛΕΓΧΟΥ! Ελέγξτε την απάντηση του EET-AP για μια δοκιμασμένη και πραγματική μέθοδο επίλυσης του προβλήματος.

Επειδή τα δύο τρίγωνα είναι παρόμοια, ονομάστε το τρίγωνο #ΑΛΦΑΒΗΤΟ# και # DEF #, # A / D = Β / Ε = C / F #. Δεν μας δίνεται ποια πλευρά έχει μήκος 15, οπότε πρέπει να το υπολογίσουμε για κάθε τιμή (# Α = 6, Β = 9 #), και για να γίνει αυτό πρέπει να βρούμε την αξία του #ΝΤΟ#.

Ξεκινήστε υπενθυμίζοντας το θεώρημα του Heron # A = sqrt (S (S-A) (S-B) (S-C)) # όπου # S = (Α + Β + Ο) / 2 #. # Α + Β = 15 #, Έτσι # S = 7,5 + C #. Έτσι, η εξίσωση για την περιοχή (που αντικαθιστά το #12#) είναι # 7 = sqrt (7.5 + C / 2) (7.5 + C / 2-6) (7.5 + C / 2-9). Αυτό απλοποιεί # 144 = (7.5 + C / 2) (1.5 + C / 2) (7.5-C / 2) #, την οποία θα πολλαπλασιάσω κατά δύο για να εξαλείψω τα δεκαδικά # 288 = (15 + C) (3 + C) (15-C) #. Πολλαπλασιάστε αυτό για να πάρετε # 144 = -C ^ 3-3C ^ 2 + 225C + 675 #, # 0 = -C ^ 3-3C ^ 2 + 225C + 531 #, # 0 = C ^ 3 + 3C ^ 2-225C-531 #. Παράγοντας αυτό να πάρει # C ~ = 14.727 #.

Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες για να βρούμε τις περιοχές. Αν # F = 12 #, ο συντελεστής κλίμακας μεταξύ των τριγώνων είναι #14.727/12#. Ο πολλαπλασιασμός των άλλων δύο πλευρών με αυτόν τον αριθμό αποδίδει # D = 13.3635 # και # E ~ = 11.045 #, και # S ~ = 19.568 #. Συνδέστε το με αυτό στη φόρμουλα του Heron για να το πάρετε # Α = 70.772 #. Ακολουθήστε το ίδιο σύνολο βημάτων με

# D = 12 # για να διαπιστώσετε ότι το ελάχιστο #ΕΝΑ# περίπου ίσο #2.567#.

Το τρίγωνο Α έχει μια έκταση 12 και δύο πλευρές μήκους 4 και 8. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει πλευρά μήκους 7. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

A_ "Bmin" ~ 4.8 A_ "Bmax" = 36.75 Πρώτα πρέπει να βρείτε τα μήκη πλευράς για το μέγιστο μεγέθους τρίγωνο Α, όταν η μεγαλύτερη πλευρά είναι μεγαλύτερη από 4 και 8 και το τρίγωνο ελάχιστου μεγέθους, όταν το 8 είναι η μακρύτερη πλευρά. Για να το κάνετε αυτό χρησιμοποιήστε τον τύπο της Heron's Area: s = (a + b + c) / 2 όπου a, b, & c είναι τα πλευρικά μήκη του τριγώνου: A = sqrt (s (s) a = 8, b = 4 "&" c "είναι άγνωστο μήκος πλευράς" s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c A_A = 12 = (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)) A_A = 12 = ) (6-1 / 2c)) Πλατεία και στις δύο πλευρές: 144 = (6 + 1 / 2c

Το τρίγωνο Α έχει μια έκταση 12 και δύο πλευρές μήκους 6 και 9. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει πλευρά μήκους 12. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Μέγιστη επιφάνεια 48 και Ελάχιστη επιφάνεια 21.3333 ** Οι αποστάσεις A και B είναι παρόμοιες. Για να αποκτήσετε τη μέγιστη επιφάνεια του Δέλτα Β, η πλευρά 12 του Δέλτα Β πρέπει να αντιστοιχεί στην πλευρά 6 του Δέλτα Α. Οι πλευρές είναι στην αναλογία 12: 6. Συνεπώς οι περιοχές θα είναι σε αναλογία 12 ^ 2: 6 ^ 2 = 144: 36 Μέγιστη περιοχή τριγώνου B = (12 * 144) / 36 = 48 Ομοίως για να πάρει την ελάχιστη περιοχή, η πλευρά 9 του Delta A θα αντιστοιχεί στην πλευρά 12 του Δέλτα Β. Οι πλευρές είναι σε αναλογία 12: 9 και περιοχές 144: 81 Ελάχιστη περιοχή Delta B = (12 * 144) / 81 = 21,3333

Το τρίγωνο Α έχει μια έκταση 13 και δύο πλευρές μήκους 2 και 14. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει πλευρά μήκους 18. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Μέγιστη δυνατή περιοχή τριγώνου Β = 1053 Ελάχιστη πιθανή περιοχή τρίγωνου B = 21,4898 Οι Δέλτα Α και Β είναι παρόμοιες. Για να αποκτήσετε τη μέγιστη επιφάνεια του Δέλτα Β, η πλευρά 18 του Δέλτα Β πρέπει να αντιστοιχεί στην πλευρά 12 του Δέλτα Α. Οι πλευρές είναι στην αναλογία 18: 2 Συνεπώς οι περιοχές θα είναι σε αναλογία 18 ^ 2: 2 ^ 2 = 324: 4 Μέγιστη περιοχή του τριγώνου B = (13 * 324) / 4 = 1053 Ομοίως για να πάρει την ελάχιστη περιοχή, η πλευρά 14 του Delta A θα αντιστοιχεί στην πλευρά 18 του Δέλτα Β. Οι πλευρές είναι στην αναλογία 18:14 και στις περιοχές 324: 196 Ελάχιστη περιοχή Delta B = (13 * 324) / 196 = 21,4898