Οι δύο γωνίες ενός τριγώνου έχουν γωνίες (3 pi) / 8 και pi / 6. Εάν η μία πλευρά του τριγώνου έχει μήκος 1, ποια είναι η μακρύτερη δυνατή περίμετρος του τριγώνου;

Απάντηση:

Η μακρύτερη δυνατή περίμετρος είναι περίπου #4.8307#.

Εξήγηση:

Πρώτον, βρίσκουμε τη μία υπολειπόμενη γωνία, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι οι γωνίες ενός τριγώνου προστίθενται μέχρι #πι#:

Για #triangle ABC #:

Αφήνω #angle A = (3pi) / 8 #

Αφήνω #angle B = pi / 6 #

Επειτα

#angle C = pi - (3pi) / 8-pi / 6 #

#color (λευκό) (γωνία C) = pi - (9pi) / 24 - (4pi) / 24 #

#color (λευκό) (γωνία C) = (11pi) / 24 #

Για οποιοδήποτε τρίγωνο, η μικρότερη πλευρά είναι πάντα απέναντι από τη μικρότερη γωνία. (Το ίδιο ισχύει και για τη μεγαλύτερη πλευρά και τη μεγαλύτερη γωνία.)

Για να μεγιστοποιήσετε την περίμετρο, το γνωστό μήκος πλευράς πρέπει να είναι το μικρότερο. Από τότε #angle B # είναι το μικρότερο (στο # pi / 6 #), θέσαμε # b = 1 #.

Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το νόμο για να υπολογίσουμε τις υπόλοιπες δύο πλευρές:

#sin A / a = sinB / b #

# => a = b φορές (sinA) / (sinB) #

#color (λευκό) (=> α) = 1 * (sin ((3pi) / 8)) / (sin (pi /

#color (λευκό) (=> α) ~~ 0.9239 / 0.5 "" "" = 1.8478 #

Παρόμοια μέθοδος χρησιμοποιείται για να δείξει # c ~ ~ 1.9829 #.

Προσθέτοντας αυτές τις τρεις τιμές (από #ένα#, #σι#, και #ντο#) μαζί θα δώσουν τη μακρύτερη δυνατή περίμετρο για ένα τρίγωνο όπως αυτό που περιγράφεται:

# P = "" a "" + b + "" c #

#color (λευκό) P ~~ 1.8478 + 1 + 1.9829 #

#color (λευκό) P = 4.8307 #

(Επειδή πρόκειται για μια ερώτηση γεωμετρίας, μπορεί να σας ζητηθεί να δώσετε την απάντηση σε ακριβή μορφή, με ριζοσπάστες. Αυτό είναι δυνατό, αλλά λίγο κουραστικό για χάρη απάντησης εδώ, γι 'αυτό έδωσα την απάντησή μου περίπου δεκαδική τιμή.)

Οι δύο γωνίες ενός τριγώνου έχουν γωνίες (2 pi) / 3 και (pi) / 4. Εάν η μία πλευρά του τριγώνου έχει μήκος 12, ποια είναι η μακρύτερη δυνατή περίμετρος του τριγώνου;

Η μεγαλύτερη δυνατή περίμετρος είναι 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941. Δεδομένου ότι οι δύο γωνίες είναι (2pi) / 3 και pi / 4, η τρίτη γωνία είναι pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. Για την μακρύτερη περιμετρική πλευρά του μήκους 12, ας πούμε, πρέπει να είναι απέναντι από τη μικρότερη γωνία pi / 12 και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο τύπο άλλων δύο πλευρών θα είναι 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin (2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Συνεπώς b = (12sin (2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = 0.2588 = 40.155 και c = 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.2588=32.786 Επομένως η μακρύτερη δυνατή περίμ

Οι δύο γωνίες ενός τριγώνου έχουν γωνίες (2 pi) / 3 και (pi) / 4. Εάν η μία πλευρά του τριγώνου έχει μήκος 4, ποια είναι η μακρύτερη δυνατή περίμετρος του τριγώνου;

P_max = 28.31 μονάδες Το πρόβλημα σας δίνει δύο από τις τρεις γωνίες σε ένα αυθαίρετο τρίγωνο. Δεδομένου ότι το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο πρέπει να ανέλθει σε 180 μοίρες ή pi radians, μπορούμε να βρούμε την τρίτη γωνία: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) π / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 Ας σχεδιάσουμε το τρίγωνο: Το πρόβλημα δηλώνει ότι μία από τις πλευρές του τριγώνου έχει μήκος 4, δεν καθορίζει ποια πλευρά. Ωστόσο, σε οποιοδήποτε δεδομένο τρίγωνο, είναι αλήθεια ότι η μικρότερη πλευρά θα είναι απέναντι από τη μικρότερη γωνία. Εάν θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την περίμετρο, θα πρέπει

Οι δύο γωνίες ενός τριγώνου έχουν γωνίες (2 pi) / 3 και (pi) / 4. Εάν η μία πλευρά του τριγώνου έχει μήκος 19, ποια είναι η μακρύτερη δυνατή περίμετρος του τριγώνου;

Το μέγιστο πιθανό περιμετρικό χρώμα (πράσινο) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842) Τρεις γωνίες είναι (2pi) / 3, pi / Η πλευρά 19 θα πρέπει να αντιστοιχεί στη μικρότερη γωνία pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sin (pi / 4) = c / sin (2pi) ) / Sin (pi / 12) = 51.909 γ = (19 * sin ((2pi) / 3)) / sin (pi / 12) = 63.5752 Μακροχρόνιο περιμετρικό χρώμα (πράσινο) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842 )