Οι δύο γωνίες ενός τριγώνου έχουν γωνίες (2 pi) / 3 και (pi) / 4. Εάν η μία πλευρά του τριγώνου έχει μήκος 4, ποια είναι η μακρύτερη δυνατή περίμετρος του τριγώνου;

Απάντηση:

# P_max = 28.31 # μονάδες

Εξήγηση:

Το πρόβλημα σας δίνει δύο από τις τρεις γωνίες σε ένα αυθαίρετο τρίγωνο. Δεδομένου ότι το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο πρέπει να ανέρχεται σε 180 μοίρες, ή #πι# radians, μπορούμε να βρούμε την τρίτη γωνία:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# x = pi- (2pi) / 3-pi / 4 #

# x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# x = pi / 12 #

Ας σχεδιάσουμε το τρίγωνο:

Το πρόβλημα δηλώνει ότι μία από τις πλευρές του τριγώνου έχει μήκος 4, αλλά δεν καθορίζει ποια πλευρά. Ωστόσο, σε οποιοδήποτε δεδομένο τρίγωνο, είναι αλήθεια ότι το μικρότερο πλευρά θα είναι απέναντι από τη μικρότερη γωνία.

Εάν θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την περίμετρο, θα πρέπει να κάνουμε την πλευρά με το μήκος 4 την πλευρά απέναντι από τη μικρότερη γωνία. Δεδομένου ότι οι άλλες δύο πλευρές θα είναι μεγαλύτερες από 4, εγγυάται ότι θα μεγιστοποιήσουμε την περίμετρο. Επομένως, το τρίγωνο εξάγεται:

Τέλος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το νόμος των ιπποειδών για να βρείτε τα μήκη των άλλων δύο πλευρών:

#sin (a) / A = sin (β) / Β = αμαρτία (c) / C #

Συνδέοντας, παίρνουμε:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3)

Η επίλυση για το x και y παίρνουμε:

# x = 10,93 # και # γ = 13.38 #

Ως εκ τούτου, η μέγιστη περίμετρος είναι:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28.31 #

Σημείωση: Εφόσον το πρόβλημα δεν καθορίζει τις μονάδες μήκους στο τρίγωνο, απλώς χρησιμοποιήστε "μονάδες".