Η κοινή αναλογία μιας γεωγεωμετρικής εξέλιξης είναι r ο πρώτος όρος της εξέλιξης είναι (r ^ 2-3r + 2) και το άθροισμα του άπειρου είναι S Δείχνουμε ότι S = 2-r (Έχω) Βρείτε το σύνολο πιθανών τιμών που S μπορεί να πάρει;

Απάντηση:

(R-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Από # | r | <1 # παίρνουμε # 1 <S <3 #

Εξήγηση:

Εχουμε

# S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k #

Το γενικό άθροισμα μιας άπειρης γεωμετρικής σειράς είναι

#sum_ {k = 0} ^ {infty} a r ^ k = a / {1-r} #

Στην περίπτωσή μας, (R-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Οι γεωμετρικές σειρές συγκλίνουν μόνο όταν # | r | <1 #, έτσι παίρνουμε

# 1 <S <3 #

Απάντηση:

#color (μπλε) (1 <S <3) #

Εξήγηση:

# ar ^ (n-1) #

Οπου # bbr # είναι ο κοινός λόγος, # bba # είναι ο πρώτος όρος και # bbn # είναι ο n ο όρος.

Μας λένε κοινή αναλογία είναι # r #

Ο πρώτος όρος είναι # (r ^ 2-3r + 2) #

Το άθροισμα μιας γεωμετρικής σειράς δίνεται ως εξής:

# a ((1-r ^ n) / (1-r)) #

Για το άθροισμα στο άπειρο αυτό απλοποιεί:

# a / (1-r) #

Μας λένε ότι αυτό το ποσό είναι S.

Αντικαθιστώντας τις τιμές μας για a και r:

# (r ^ 2-3r + 2) / (1-r) = S #

Παράγοντας ο αριθμητής:

# ((r-1) (r-2)) / (1-r) = S #

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή από το #-1#

# ((r-1) (2-r)) / (r-1) = S #

Ακύρωση:

# (ακύρωση ((r-1)) (2-r)) / (ακύρωση ((1-r)))

# S = 2-r #

Για να βρούμε τις πιθανές τιμές, θυμόμαστε ότι μια γεωμετρική σειρά έχει μόνο ένα άθροισμα στο άπειρο εάν # -1 <r <1 #

# 2-1 <2-r <1 + 2 #

# 1 <2-r <3 #

δηλ.

# 1 <S <3 #