Ποια είναι η ρίζα του κύβου (sqrt3 -i);

Αρχίζω με τη μετατροπή του αριθμού σε τριγωνομετρική μορφή:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + ισίνη (-pi / 6)

Η ρίζα κύβου αυτού του αριθμού μπορεί να γραφτεί ως εξής:

# z ^ (1/3) #

Τώρα με αυτό το μυαλό, χρησιμοποιώ τον τύπο για την nη δύναμη ενός σύνθετου αριθμού σε τριγωνομετρική μορφή:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # δίνοντας:

# z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + ισίνη (-pi / 6 * 1/3)

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + ισίνη (-pi / 18) #

Το οποίο σε ορθογώνιο είναι: # 4.2-0.7i #

Δεν μπορώ να συμφωνήσω απόλυτα με την απάντηση του Gió, επειδή είναι ατελής και επίσης (τυπικά) λανθασμένη.

Το τυπικό σφάλμα είναι στη χρήση του De Moivre με μη-ακέραιους εκθέτες. Ο τύπος De Moivre μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε ακέραιους αριθμούς. Περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με αυτό στη σελίδα της Wikipedia

Εκεί θα βρείτε μια μερική επέκταση της φόρμουλας, για να αντιμετωπίσετε # n #-η ρίζες (περιλαμβάνει μια επιπλέον παράμετρο #κ#): αν # z = r (για το theta + i theta theta) #, έπειτα

= z (1 / n) = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin (theta + 2 k pi) όπου # k = 0, …, n-1 #.

Ένα (και με κάποια έννοια ο) πολύ θεμελιώδης ιδιότητα των πολύπλοκων αριθμών είναι αυτό # n #-όλες οι ρίζες έχουν … # n # ρίζες (λύσεις)! Η παράμετρος #κ# (που κυμαίνεται μεταξύ #0# και # n-1 #, Έτσι # n # αξίες) μας επιτρέπει να τις συνοψίσουμε σε μια ενιαία φόρμουλα.

Έτσι, οι ρίζες κύβων έχουν τρεις λύσεις και η εύρεση ενός από αυτούς δεν είναι αρκετή: είναι απλώς "#1/3# της λύσης ".

Θα γράψω την πρόταση λύσης μου παρακάτω. Σχόλια είναι ευπρόσδεκτα!

Όπως σωστά πρότεινε ο Gió, το πρώτο βήμα εκφράζεται # z = sqrt {3} -i # σε τριγωνομετρική μορφή # r (για το theta + i the theta theta) #. Όταν ασχολούμαστε με ρίζες, η τριγωνομετρική μορφή είναι (σχεδόν) πάντα ένα χρήσιμο εργαλείο (μαζί με το εκθετικό). Παίρνετε:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi /

Έτσι = cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Τώρα θέλετε να υπολογίσετε τις ρίζες. Με τον τύπο που αναφέρθηκε παραπάνω, έχουμε:

1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3} (cos ((-pi / 6 + 2k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)

όπου # k = 0, 1, 2 #. Επομένως υπάρχουν τρεις διαφορετικές τιμές #κ# (#0#, #1# και #2#) που γεννούν τρεις διαφορετικές σύνθετες ρίζες # z #:

(z) = (2) (1) (2) (1) (2) (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

(z-6/2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / (cos (-11/18 pi) + i sin (-11 / 18 pi)) #

(z-2/2 + 1)) = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / (cos (-23 / 18 pi) + i sin (-23 / 18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # και # z_2 # είναι οι τρεις λύσεις.

Η γεωμετρική ερμηνεία του τύπου για το # n # ρίζες είναι πολύ χρήσιμη για να σχεδιάσετε τις λύσεις στο σύνθετο επίπεδο. Επίσης, η πλοκή δείχνει πολύ ωραία τις ιδιότητες του τύπου.

Πρώτα απ 'όλα, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλες οι λύσεις έχουν την ίδια απόσταση # r ^ {1 / n} # (στο παράδειγμά μας #2^{1/3}#) από την προέλευση. Έτσι, όλοι βρίσκονται σε μια περιφέρεια ακτίνας # r ^ {1 / n} #. Τώρα πρέπει να τονίσουμε όπου για να τα τοποθετήσετε σε αυτήν την περιφέρεια. Μπορούμε να ξαναγράψουμε τα επιχειρήματα του sine και cosine με τον ακόλουθο τρόπο:

(z) (t) / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)

Η ρίζα "πρώτης" αντιστοιχεί σε # k = 0 #:

(cos (theta / n) + i sin (θήτα / η)) #

Όλες οι άλλες ρίζες μπορούν να ληφθούν από αυτό προσθέτοντας τη γωνία # (2pi) / n # αναδρομικά στη γωνία # theta / n # σε σχέση με την πρώτη ρίζα # z_0 #. Έτσι κινούμαστε # z_0 # στην περιφέρεια με περιστροφή του # (2pi) / n # radians (# (360 °) / n #). Έτσι τα σημεία βρίσκονται στις κορυφές ενός τακτικού # n #-gon. Δεδομένου ενός από αυτά, μπορούμε να βρούμε τους άλλους.

Στην περίπτωσή μας:

όπου είναι η μπλε γωνία # theta / n = -pi / 18 # και η ματζέντα είναι # (2pi) / η = 2/3 pi #.