Q.1 Αν οι άλφα, βήτα είναι οι ρίζες της εξίσωσης x ^ 2-2x + 3 = 0 λαμβάνουμε την εξίσωση των οποίων οι ρίζες είναι άλφα ^ 3-3 άλφα ^ 2 + 5 άλφα -2 και βήτα ^ 3-beta ^ 2 + βήτα +

# Q.1 # Αν # alpha, beta # είναι οι ρίζες της εξίσωσης # x ^ 2-2x + 3 = 0 # λαμβάνουν την εξίσωση των οποίων οι ρίζες είναι # αλφα ^ 3-3 άλφα ^ 2 + 5 άλφα -2 # και # βήτα ^ 3-βήτα ^ 2 + βήτα + 5 #?

Απάντηση

δεδομένης εξίσωσης # x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# => x = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #

Αφήνω # alpha = 1 + sqrt2i και beta = 1-sqrt2i #

Τώρα αφήστε

# γάμμα = άλφα ^ 3-3 άλφα ^ 2 + 5 άλφα -2 #

# => γάμμα = άλφα ^ 3-3 άλφα ^ 2 + 3 άλφα -1 + 2αλφα-1 #

# => γάμμα = (άλφα-1) ^ 3 + άλφα-1 + άλφα #

# => γάμμα = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #

# => gamma = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 #

Και αφήστε

# δέλτα = βήτα ^ 3-βήτα ^ 2 + βήτα + 5 #

# => δέλτα = βήτα ^ 2 (βήτα-1) + βήτα + 5 #

# => delta = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => delta = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1 - sqrt2i + 5 #

# => delta = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #

Έτσι η τετραγωνική εξίσωση έχει ρίζες #gamma και delta # είναι

# x ^ 2- (γάμα + δέλτα) χ + gammadelta = 0 #

# => x ^ 2- (1 + 2) χ + 1 * 2 = 0 #

# => x ^ 2-3x + 2 = 0 #

# Q.2 # Αν υπάρχει μια ρίζα της εξίσωσης # ax ^ 2 + bx + c = 0 # να είναι το τετράγωνο του άλλου, Αποδείξτε αυτό # b ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #

Αφήστε μια ρίζα να είναι #άλφα# τότε θα είναι και η άλλη ρίζα # alpha ^ 2 #

Έτσι # alpha ^ 2 + άλφα = -β / α #

και

# alpha ^ 3 = γ / α #

# => άλφα ^ 3-1 = c / a-1 #

(α-α) / α = 1 (α-α)

# => (α-1) (- b / a + 1) = (c-a) / a #

(α-β) / α) = (c-a) / α #

# => (άλφα-1) = (c-a) / (a-b) #

= α = (c-a) / (a-b) + 1 = (c-b) / (a-b)

Τώρα #alpha # είναι μια από τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης # ax ^ 2 + bx + c = 0 # μπορούμε να γράψουμε

# aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #

(c-b) / (α-β)) + c = 0 #

= a (c-b) ^ 2 + b (c-b) (a-b) + c (a-b)

# => ac2-2abc + ab ^ 2 + abc-ab ^ 2-b ^ 2c + b ^ 3 + ca ^

# => b ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #

αποδείχθηκε

Εναλλακτική λύση

# aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => aalpha + b + γ / άλφα = 0 #

(c / a) ^ (1/3) + b + c / ((c / a) ^ (1/3)) = 0 #

(1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3) = - b #

(1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 = (- b) ^ 3 #

(1/3) a ^ (2/3)) ^ 3+ (c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 + 3c ^ (1/3) (2/3) xxc ^ (2/3) a ^ (1/3) (c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) = (- b) ^ 3 #

# => ca ^ 2 + c ^ 2a + 3ca (-b) = (- b) ^ 3 #

# => b ^ 3 + ca ^ 2 + c ^ 2a = 3abc #