Το είκοσι τοις εκατό των πελατών ενός μεγάλου κομμωτηρίου είναι γυναίκες. Σε ένα τυχαίο δείγμα 4 πελατών, ποια είναι η πιθανότητα ακριβώς 3 πελάτες να είναι γυναίκες;

Απάντηση:

# 4 cdot (0,2) ^ 3 cdot 0,8 #

Εξήγηση:

Μπορούμε να μπουν στον πειρασμό να καταγράψουμε όλα τα πιθανά αποτελέσματα και να υπολογίσουμε τις πιθανότητές τους: τελικά, αν πρέπει να δείξουμε #3# θηλυκά #ΦΑ# από τέσσερις πελάτες, οι δυνατότητες είναι

# (F, F, F, M), (F, F, M, F), (M, F, F)

Κάθε πελάτης είναι θηλυκό με πιθανότητα #0.2#, και ως εκ τούτου αρσενικό με πιθανότητα #0.8#. Έτσι, κάθε τετράδα που μόλις γράψαμε έχει πιθανότητα

# 0.2 cdot0.2 cdot0.2 cdot0.8 = (0.2) ^ 3 cdot 0.8 #

Δεδομένου ότι έχουμε τέσσερα γεγονότα με τέτοια πιθανότητα, η απάντηση θα είναι

# 4 cdot (0,2) ^ 3 cdot 0,8 #

Αλλά τι γίνεται αν οι αριθμοί ήταν πολύ μεγαλύτεροι; Η καταγραφή όλων των πιθανών γεγονότων θα γινόταν σύντομα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο έχουμε μοντέλα: η κατάσταση αυτή περιγράφεται από ένα μοντέλο της Βερνουλίας, πράγμα που σημαίνει ότι αν θέλουμε να επιτύχουμε #κ# επιτυχίες στο # n # πειράματα με πιθανότητα επιτυχίας #Π#, τότε η πιθανότητά μας είναι

Π = ((η), (k)) p ^ k (1-p) ^ {n-k} #

όπου

(n), (k)) = frac {n!} {k! (n-k)!} και #n! = n (n-1) (η-2) … 3 cdot2 #

Σε αυτήν την περίπτωση, # n = 4 #, # k = 3 # και # p = 0,2 #, Έτσι

# P = ((4), (3)) 0,2 ^ 3 (0,8) = 4 cdot0,2 ^ 3 (0,8)