Πώς γράφετε τη μερική αποσύνθεση κλάσματος της ορθολογικής έκφρασης (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2);

Απάντηση:

(X-1)) - 1 / (2χ + 1)) # (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)

Εξήγηση:

Για να γράψουμε τη συγκεκριμένη έκφραση σε μερικά κλάσματα, σκεφτόμαστε να παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή.

Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή

#color (μπλε) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = χρώμα (μπλε) (x ^ 2 (x-2) - (x-2)) #

# = χρώμα (μπλε) ((x-2) (x ^ 2-1)) #

Εφαρμογή της ταυτότητας πολυωνύμων:

#color (πορτοκαλί) (a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b)

έχουμε:

#color (μπλε) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = χρώμα (μπλε) ((x-2) (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = χρώμα (μπλε) ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

Ας αποσυνθέσουμε την ορθολογική έκφραση βρίσκοντας # Α, Β και C #

(χ / 2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = χρώμα (πράσινο) +2)) #

#color (καφέ) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)

(x + 1)) / (x-2) + (B (x-2) (x + 1) x-2) (χ-1)) / (χ + 1)) #

= (Α (χ ^ 2-1)) / (χ-2) + (Β (χ ^ 2 + χ-2χ) + 2)) / (χ + 1) #

= (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / / (χ + 1) #

(X-2) (x-1) (χ + 1) # (α-2)

# = χρώμα (καφέ) (((Α + Β + Ο) χ ^ 2 + (-Β-3Ο) χ + (-Α-2Β + 2C) 1)) #

# = χρώμα (καφέ) (((Α + Β + Ο) χ ^ 2 + (-Β-3Ο) χ + (-Α-2Β + 2C) 1)) = χρώμα (πράσινο) ((3χ) / (χ ^ 3-2x ^ 2-χ + 2)) #

Επειτα, # rArrcolor (καφέ) ((Α + Β + Ο) χ ^ 2 + (- Β-3C) χ + (-Α-2Β + 2C)

Έχουμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρία άγνωστα # Α, Β και C #

# Α + Β + Ο = 0 # eq1

# -B-3C = 3 # eq2

# -Α-2Β + 2C = 0 # eq3

Ξεκινώντας να λύσετε το σύστημα

eq2:# -B-3C = 3rArr-Β = 3 + 3CrArrcolor (κόκκινο) (Β = -3-3C) #

Αντικατάσταση #ΣΙ# στο eq1 έχουμε:

# Α + Β + Ο = 0 #

# Α-3-3C + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (κόκκινο) (Α = 3 + 2C) #

Αντικατάσταση #B και C #στο eq3 έχουμε:

# -Α-2Β + 2C = 0 # eq3

# rArr- (χρώμα (κόκκινο) (3 + 2C)) - 2 (χρώμα (κόκκινο) (3-3C) + 2C =

# rArr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# rArr + 3 + 6C = 0 #

# rArr6C = -3 #

#rArrcolor (κόκκινο) (C = -1 / 2) #

#color (κόκκινο) (B = -3-3C) = - 3-3color (κόκκινο) (- 1/2) = - 3 + 3 /

#color (κόκκινο) (B = -3 / 2 #

#color (κόκκινο) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#color (κόκκινο) (A = 2) #

Ας αντικαταστήσουμε τις αξίες:

(χρωματικό (κόκκινο) 2 / (x-2) + (χρώμα (κόκκινο) (- 3) / 2)) / (x-1) + χρώμα (κόκκινο) ((- 1/2)) / (x + 1)) #

Επομένως, (X-1)) - 1 / (2χ + 1)) # (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)