Ποιες είναι οι ημι-γωνιακές ταυτότητες;

Οι ταυτότητες ημίσειας γωνίας ορίζονται ως εξής:

# mathbf (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / 2)

#(+)# για τεταρτημόρια Εγώ και ΙΙ

#(-)# για τεταρτημόρια III και IV

# mathbf (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cosx) / 2)

#(+)# για τεταρτημόρια Εγώ και IV

#(-)# για τεταρτημόρια ΙΙ και III

# mathbf (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)

#(+)# για τεταρτημόρια Εγώ και III

#(-)# για τεταρτημόρια ΙΙ και IV

Μπορούμε να τους αντλήσουμε από τις ακόλουθες ταυτότητες:

# sin ^ 2x = (1-cos (2x)) / 2 #

# sin ^ 2 (x / 2) = (1-cos (x)) / 2 #

#color (μπλε) (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)

Γνωρίζοντας πώς # sinx # είναι θετικό για #0-180^@# και αρνητικό για #180-360^@#, γνωρίζουμε ότι είναι θετικό για τα τεταρτημόρια Εγώ και ΙΙ και αρνητικό για III και IV.

# cos ^ 2x = (1 + cos (2x)) / 2 #

# cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cos (x)) / 2 #

#color (μπλε) (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cos (x)

Γνωρίζοντας πώς # cosx # είναι θετικό για #0-90^@# και #270-360^@#, και αρνητικό για #90-270^@#, γνωρίζουμε ότι είναι θετικό για τα τεταρτημόρια Εγώ και IV και αρνητικό για ΙΙ και III.

(x / 2) = sin (x / 2) / (cos (x / 2)) = pmsqrt (1- cos (x)) / 2)) #

= (1) cos (x)) / (1 + cos (x)))) #

Μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι αν λάβουμε υπόψη τις συνθήκες για θετικές και αρνητικές τιμές # sinx # και # cosx # και να τα διαιρέσουμε, καταλαβαίνουμε ότι αυτό είναι θετικό για τα τεταρτημόρια Εγώ και III και αρνητικό για ΙΙ και IV.