Δύο γωνίες ενός ισοσκελικού τριγώνου είναι στα (7, 5) και (3, 6). Εάν η περιοχή του τριγώνου είναι 6, ποια είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου;

Απάντηση:

Υπάρχουν δύο τρόποι να το κάνετε. ο τρόπος με τα λιγότερα βήματα εξηγείται παρακάτω.

Το ερώτημα είναι διφορούμενο σχετικά με τις δύο πλευρές που έχουν το ίδιο μήκος. Σε αυτή την εξήγηση, θα υποθέσουμε ότι οι δύο πλευρές ίσου μήκους είναι εκείνες που δεν έχουν ακόμη βρεθεί.

Εξήγηση:

Μία πλευρά πλευρά μπορούμε να υπολογίσουμε μόνο από τις συντεταγμένες που έχουμε δώσει.

# a = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# a = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# a = sqrt (16 + 1) #

# a = sqrt17 #

Στη συνέχεια, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την περιοχή ενός τριγώνου όσον αφορά τα μήκη των πλευρών του για να το καταλάβουμε #σι# και #ντο#.

# A = sqrt (s-a) (s-b) (s-c)) #

όπου # s = (α + β + γ) / 2 # (που ονομάζεται ημιπερίμετρο)

Από # a = sqrt (17) # είναι γνωστό, και υποθέτουμε # b = c #, έχουμε

# s = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#color (κόκκινο) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Αντικαθιστώντας αυτό στον τύπο περιοχής παραπάνω, καθώς και # A = 6 # και # a = sqrt17 #, παίρνουμε

= (Sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (χρώμα (κόκκινο) (sqrt (17) / 2 + b) 2 + β) -β) (χρώμα (κόκκινο) (sqrt (17) / 2 + b) -b)

(Sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2)

(2) (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2)

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

# 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = β ^ 2 #

# b = sqrt (865/68) = c #

Η λύση μας είναι # a = sqrt (17), β = c = sqrt (865/68) #.

Υποσημείωση 1:

Είναι δυνατόν να έχουμε ένα τρίγωνο με δύο πλευρές μήκους #sqrt (17) # και την περιοχή # A = 6 # (δηλαδή να έχουμε # a = b = sqrt (17) # αντί # b = c #). Αυτό θα οδηγήσει σε μια διαφορετική λύση.

Υποσημείωση 2:

Θα μπορούσαμε επίσης να λύσουμε αυτό το ερώτημα βρίσκοντας τις συντεταγμένες του 3ου σημείου. Αυτό θα συνεπαγόταν:

α) εύρεση του μήκους της γνωστής πλευράς #ένα#

β) εύρεση της κλίσης # m # μεταξύ των δύο συγκεκριμένων σημείων

γ) εύρεση του μέσου όρου # (x_1, y_1) # μεταξύ των δύο συγκεκριμένων σημείων

δ) εύρεση του "ύψους" # h # του τριγώνου αυτού # Α = 1/2 αχ #

ε) εύρεση της κλίσης του ύψους χρησιμοποιώντας # m_h = (- 1) / m #

f) χρησιμοποιώντας και τον τύπο κλίσης # m_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # και τον τύπο ύψους # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # για να λύσει μία από τις συντεταγμένες του 3ου σημείου # (x_2, y_2) #

ζ) αφού συνδυάσουμε αυτές τις δύο εξισώσεις, απλοποιώντας τις αποδόσεις

# x_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) σύνδεση των γνωστών τιμών για # h #, # m_h #, και # x_1 # να πάρω # x_2 #

i) χρησιμοποιώντας μια από τις δύο εξισώσεις στο (f) για να βρείτε # y_2 #

j) χρησιμοποιώντας τον τύπο απόστασης για να βρείτε τα υπόλοιπα (πανομοιότυπα) πλευρικά μήκη

(β2 = 2) 2 = (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 +

Μπορείτε να δείτε γιατί η πρώτη μέθοδος είναι ευκολότερη.