Ποια είναι μερικά παραδείγματα συγκλινουσών σειρών;

Απάντηση:

Ακολουθούν τρία σημαντικά παραδείγματα …

Εξήγηση:

Γεωμετρικές σειρές

Αν #abs (r) <1 # τότε το άθροισμα των γεωμετρικών σειρών # a_n = r ^ n a_0 # είναι συγκλίνουσα:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Εκθετικη συναρτηση

Η σειρά καθορίζει # e ^ x # είναι συγκλίνουσα για οποιαδήποτε τιμή του #Χ#:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Για να αποδείξει αυτό, για οποιοδήποτε δεδομένο #Χ#, άφησε # N # να είναι ένας ακέραιος μεγαλύτερος από #abs (x) #. Επειτα #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (η!) # συγκλίνει αφού είναι ένα πεπερασμένο ποσό και #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # συγκλίνει αφού η απόλυτη τιμή του λόγου των διαδοχικών όρων είναι μικρότερη από #abs (χ) / (Ν + 1) <1 #.

Το πρόβλημα της Βασιλείας

Το πρόβλημα της Βασιλείας, το οποίο τέθηκε το 1644 και επιλύθηκε από το Euler το 1734, ζήτησε την αξία του αθροίσματος των reciprocals των τετραγώνων των θετικών ακέραιων αριθμών:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #