Έστω f (x) = (x + 2) / (x + 3). Βρείτε την (τις) εξίσωση (-ες) της εφαπτόμενης (ων) γραμμής (ων) που διέρχεται από ένα σημείο (0,6); Σχεδιάστε το διάλυμα;

Απάντηση:

Οι εφαπτομενικές είναι # 25x-9y + 54 = 0 # και # γ = χ + 6 #

Εξήγηση:

Αφήστε την κλίση της εφαπτομένης # m #. Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι τότε # γ-6 = mx # ή # γ = mx + 6 #

Τώρα ας δούμε το σημείο τομής αυτής της εφαπτομένης και της δεδομένης καμπύλης # y = (χ + 2) / (χ + 3) #. Για αυτό το βάζοντας # γ = mx + 6 # σε αυτό παίρνουμε

# mx + 6 = (χ + 2) / (χ + 3) # ή # (mx + 6) (χ + 3) = χ + 2 #

δηλ. # mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = χ + 2 #

ή # mx ^ 2 + (3m + 5) χ + 16 = 0 #

Αυτό θα πρέπει να δώσει δύο τιμές #Χ# δηλαδή δύο σημεία τομής, αλλά η εφαπτομένη κόβει την καμπύλη μόνο σε ένα σημείο. Ως εκ τούτου, εάν # γ = mx + 6 # είναι εφαπτομένη, θα πρέπει να έχουμε μόνο μία ρίζα για την τετραγωνική εξίσωση, η οποία είναι εφικτή εάν είναι διακριτική #0# δηλ.

# (3m + 5) ^ 2-4 * m * 16 = 0 #

ή # 9m ^ 2 + 30m + 25-64m = 0 #

ή # 9m ^ 2-34m + 25 = 0 #

δηλ. # m = (34 + -sqrt (34 ^ 2-900)) / 18 #

= # (34 + -sqrt256) / 18 = (34 + -16) / 18 #

δηλ. #25/9# ή #1#

και επομένως οι εφαπτομενικές είναι # γ = 25 / 9χ + 6 # δηλ. # 25x-9y + 54 = 0 #

και # γ = χ + 6 #

διάγραμμα {25x-9y + 54) (χ-γ + 6) (γ- (χ + 2) / (χ + 3)) = 0 -12.58, 7.42, -3.16, 6.84}