Ποια είναι η ταχύτερη και ευκολότερη μέθοδος για την επίλυση κυβικών και τεταρτημοριακών εξισώσεων (χωρίς πολυωνυμική αριθμομηχανή);

Απάντηση:

Εξαρτάται…

Εξήγηση:

Αν το κυβικό ή το τεταρτημόριο (ή οποιοδήποτε πολυώνυμο βαθμού για το θέμα αυτό) έχει λογικές ρίζες, τότε το λογικό θεώρημα των ριζών μπορεί να είναι ο γρηγορότερος τρόπος να τα βρείτε.

Ο κανόνας των σημείων του Descartes μπορεί επίσης να βοηθήσει να προσδιορίσει εάν μια πολυώνυμη εξίσωση έχει θετικές ή αρνητικές ρίζες, έτσι ώστε να περιορίσετε την αναζήτηση.

Για μια κυβική εξίσωση, ίσως είναι χρήσιμο να αξιολογήσετε το διακριτικό:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Αν #Delta = 0 # τότε το κυβικό έχει μια επαναλαμβανόμενη ρίζα.

• Αν #Delta <0 # τότε το κυβικό έχει μια πραγματική ρίζα και δύο μη πραγματικές πολύπλοκες ρίζες.

• Αν #Delta> 0 # τότε το κυβικό έχει τρεις πραγματικές ρίζες.

Αν #Delta = 0 # τότε το κυβικό μετοχές ένας παράγοντας με το παράγωγο του, έτσι θα πρέπει να μπορείτε να βρείτε τον κοινό παράγοντα τους με τον υπολογισμό του πολυωνυμικού GCF.

Διαφορετικά, είναι πιθανόν χρήσιμο να χρησιμοποιήσετε ένα μετασχηματισμό Tschirnhaus για να αντλήσετε ένα καταπιεσμένο κυβικό χωρίς τετραγωνικό όρο πριν προχωρήσουμε περαιτέρω.

Εάν ένα κυβικό έχει μια πραγματική ρίζα και δύο μη πραγματικές, τότε θα πρότεινα τη μέθοδο του Cardano.

Εάν έχει τρεις πραγματικές ρίζες τότε θα συνιστούσαμε να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρική υποκατάσταση αντ 'αυτού.

Για την καμπύλη, μπορείτε να πάρετε μια καταθλιπτική καμπύλη χωρίς κύβο όρος από μια υποκατάσταση όπως # t = χ + β / (4α) #.

Εάν το προκύπτον τεταρτημόριο δεν έχει επίσης γραμμικό όρο τότε είναι τετραγωνικό σε # x ^ 2 #. Μπορείτε είτε να το λύσετε σαν τετραγωνικό και να πάρετε τετραγωνικές ρίζες, είτε να χρησιμοποιήσετε μια factorisation της φόρμας:

(x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 +

Από αυτό μπορείτε να βρείτε τετραγωνικούς παράγοντες για την επίλυση.

Αν το προκύπτον τεταρτημόριο έχει γραμμικό όρο, τότε μπορεί να ληφθεί υπόψη η μορφή:

(x ^ 2-άξονα + b) (χ ^ 2 + άξονα + γ) = χ ^ 4 +

Εξισώσεις συντελεστών και χρήση # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, μπορείτε να αποκομίσετε ένα κυβικό # a ^ 2 #. Επομένως μπορείτε να βρείτε πιθανές τιμές για #ένα#, #σι# και #ντο#. Στη συνέχεια, βρείτε τα μηδενικά των τετραγωνικών παραγόντων.

Υπάρχουν και άλλες ειδικές περιπτώσεις, αλλά το καλύπτουν περίπου.