Απάντηση:
Η εφαπτομένη γραμμή είναι παράλληλη με την #Χ# όταν η κλίση (ως εκ τούτου # dy / dx #) είναι μηδέν και είναι παράλληλη με το # y # άξονα όταν η κλίση (και πάλι, # dy / dx #) πηγαίνει στο # oo # ή # -oo #
Εξήγηση:
Θα ξεκινήσουμε με την εύρεση # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2χ + γ) / (χ + 2γ) #
Τώρα, # dy / dx = 0 # όταν είναι ο μούμιος #0#, υπό την προϋπόθεση ότι αυτό δεν κάνει και τον παρονομαστή #0#.
# 2χ + γ = 0 # πότε #y = -2x #
Έχουμε τώρα δύο εξισώσεις:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Επίλυση (με υποκατάσταση)
# x ^ 2 + x (-2χ) + (-2χ) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 - 2 ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
# x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Χρησιμοποιώντας #y = -2x #, παίρνουμε
Η εφαπτομένη στην καμπύλη είναι οριζόντια στα δύο σημεία:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # και # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Παρατηρήστε ότι αυτά τα ζευγάρια δεν κάνουν επίσης τον παρονομαστή του # dy / dx # ίσο με #0#)
Για να βρείτε τα σημεία στα οποία η εφαπτομένη είναι κάθετη, κάντε τον παρονομαστή του # dy / dx # ίση tpo #0# (χωρίς επίσης να κάνει τον αριθμητή #0#).
Θα μπορούσαμε να περάσουμε από τη λύση, αλλά η συμμετρία της εξίσωσης που θα πάρουμε:
# x = -2y #, Έτσι
#y = + - sqrt21 / 3 #
και τα σημεία στην καμπύλη στην οποία η εφαπτομένη είναι κάθετη είναι:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # και # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Παρεμπιπτόντως. Επειδή έχουμε την τεχνολογία, εδώ είναι το γράφημα αυτής της περιστρεφόμενης ελλείψεως: (Σημειώστε ότι # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1,528 # που μπορείτε να δείτε στο γράφημα.)
διάγραμμα {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11,3, 11,2, -5,665,5,585}
Απάντηση:
Χρησιμοποιώ μόνο μαθήματα μέσης εκπαίδευσης που έχω
Οπές παράλληλες προς τον άξονα x στο:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) και (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Οπές παράλληλες προς τον άξονα y στο:
# (2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) και (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Εξήγηση:
Κοίταξα την απάντηση του Τζιμ, που μοιάζει με μια ωραία, τυπική θεραπεία λογισμού. Αλλά δεν μπορούσα να βοηθήσω να αισθάνομαι λυπημένος για όλους τους μεσαίους μαθητές εκεί έξω στη Σοκρατική γη που θέλουν να βρουν εφαπτομενικές αλγεβρικές καμπύλες, αλλά απέχουν ακόμη χρόνια από τον λογισμό.
Ευτυχώς μπορούν να κάνουν αυτά τα προβλήματα χρησιμοποιώντας μόνο την Άλγεβρα Ι.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Αυτό μπορεί να είναι λίγο περίπλοκο για ένα πρώτο παράδειγμα, αλλά ας πάμε με αυτό. Γράφουμε την καμπύλη μας ως # f (x, y) = 0 # όπου
# f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Ας πάρουμε # (r, s) # ως σημείο #φά#. Θέλουμε να ερευνήσουμε #φά# κοντά # (r, s) # έτσι γράφουμε
(x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
= (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s +
Επεκτείνουμε, αλλά δεν επεκτείνουμε τους όρους διαφοράς # x-r # και # y-s #. Θέλουμε να διατηρήσουμε αυτά ανέπαφα ώστε να μπορούμε να πειραματιστούμε με την εξάλειψη μερικών αργότερα.
(xs) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (xr) + (xr) ys) + (ys) ^ 2-7 #
= (r2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + ys) #
(x-r) (y-s) (y-s) + (x-r)
Είπαμε # (r, s) # είναι ενεργοποιημένη #φά# Έτσι # f (r, s) = 0 #.
(x-r) (x-r) (y-s) + (x-r)
Ταξινόσαμε τους όρους κατά βαθμό και μπορούμε να πειραματιστούμε με προσεγγίσεις #φά# κοντά # (r, s) # με την πτώση των υψηλότερων βαθμών. Η ιδέα είναι πότε # (x, y) # είναι κοντά # (r, s) # έπειτα # x-r # και # y-s # είναι μικρά και τα τετράγωνα και το προϊόν τους είναι ακόμα μικρότερα.
Ας παράγουμε μόνο μερικές προσεγγίσεις #φά#. Από # (r, s) # είναι στην καμπύλη, η σταθερή προσέγγιση, η πτώση όλων των όρων διαφοράς, είναι
# f_0 (χ, γ) = 0 #
Αυτό δεν είναι ιδιαίτερα συναρπαστικό, αλλά μας λέει σωστά σημεία κοντά # (r, s) # θα δώσει μια τιμή κοντά στο μηδέν για #φά#.
Ας γίνει πιο ενδιαφέρον και να διατηρήσουμε τους γραμμικούς όρους.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r)
Όταν το θέσουμε σε μηδέν, έχουμε την καλύτερη γραμμική προσέγγιση στο #φά# κοντά # (r, s), # Ποιο είναι το εφαπτόμενη γραμμή προς το #φά# στο # (r, s). # Τώρα βγαίνουμε κάπου.
(X-r) + (2s + r) (y-s) # #
Μπορούμε να εξετάσουμε και άλλες προσεγγίσεις:
(x-r) + (x-r) = 2 (x, y) = (2r + s)
(x-r) (y-s) + (x-r) (x-r)
Αυτές είναι εφαπτομενές υψηλότερης τάξης, εκείνες που φοιτούν μαθητές κολλεγίων μαθητών σχεδόν ποτέ. Έχουμε ήδη ξεπεράσει το λογισμικό του κολλεγίου.
Υπάρχουν περισσότερες προσεγγίσεις, αλλά είμαι προειδοποιημένος αυτό είναι να πάρει πολύ. Τώρα που μάθαμε πώς να κάνουμε τον υπολογισμό χρησιμοποιώντας μόνο την Άλγεβρα Ι, ας κάνουμε το πρόβλημα.
Θέλουμε να βρούμε τα σημεία όπου η εφαπτόμενη γραμμή είναι παράλληλη με την #Χ# άξονας και # y # άξονας.
Βρήκαμε την εφαπτομένη γραμμή μας # (r, s) # είναι
(X-r) + (2s + r) (y-s) # #
Παράλληλα με το #Χ# άξονας σημαίνει μια εξίσωση # y = κείμενο {σταθερό} #. Έτσι, ο συντελεστής #Χ# πρέπει να είναι μηδέν:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # είναι στην καμπύλη έτσι # f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Από # s = -2r # τα σημεία είναι
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) και (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Παρομοίως παράλληλα με το μέσο άξονα y # 2s + r = 0 # που θα έπρεπε απλά να ανταλλάξουν x και y λόγω της συμμετρίας του προβλήματος. Έτσι τα άλλα σημεία είναι
# (2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) και (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Ελεγχος.
Πώς να ελέγξετε; Ας κάνουμε μια οικόπεδο Alpha.
x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3}, x = 2 + xy + y ^ 2 = }}
Φαίνεται καλό. Λογισμός σε αλγεβρικές καμπύλες. Πολύ καλό για το γυμνάσιο.
