Πώς χρησιμοποιείτε τη διωνυμική σειρά για να επεκτείνετε το sqrt (1 + x);

Απάντηση:

(1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = άθροισμα (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # με # x σε CC #

Χρησιμοποιήστε τη γενίκευση του διωνυμικού τύπου σε πολύπλοκες αριθμούς.

Εξήγηση:

Υπάρχει μια γενίκευση της διωνυμικής φόρμουλας στους σύνθετους αριθμούς.

Ο γενικός τύπος διωνυμικής σειράς φαίνεται να είναι # (1 + z) ^ r = άθροισμα ((r) _k) / (k!) Z ^ k # με (r-1) (r-1) (r-1) (r-1) (σύμφωνα με τη Wikipedia). Ας το εφαρμόσουμε στην έκφρασή σας.

Αυτή είναι μια σειρά ισχύος τόσο προφανώς, αν θέλουμε να έχουμε πιθανότητες να μην αποκλίνει αυτό που πρέπει να θέσουμε #absx <1 # και έτσι επεκτείνετε #sqrt (1 + x) # με τη διωνυμική σειρά.

Δεν πρόκειται να αποδείξω ότι ο τύπος είναι αληθινός, αλλά δεν είναι πάρα πολύ δύσκολο, απλά πρέπει να δείτε ότι η σύνθετη λειτουργία που ορίζεται από # (1 + z) ^ r # είναι ολομορφικό στον δίσκο της μονάδας, υπολογίζει κάθε παράγωγο του σε 0 και αυτό θα σας δώσει τον τύπο Taylor της λειτουργίας, που σημαίνει ότι μπορείτε να την αναπτύξετε ως μια σειρά ισχύος στο δίσκο της μονάδας επειδή #absz <1 #, εξ ου και το αποτέλεσμα.

Πώς χρησιμοποιείτε τη διωνυμική σειρά για επέκταση (5 + x) ^ 4;

(A + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 δίνεται από: (a + bx) (n = 1)! a ^ (nr) (bx) ^ r) Έτσι, έχουμε: (5 + χ) ^ 4 = (4) / (0) * 4) 5 ^ 4 + (4) / (1) (4!) / (4! * 1) (5) x ^ 3 + (4!) / 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) χ ^ 3 + ^ ^ (5 + χ) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^

Πώς χρησιμοποιείτε τον διωνυμικό τύπο για να επεκτείνετε [x + (y + 1)] ^ 3;

X 2 + 3y + 2 + 3x + 2y + 3y 2 + 6x + 3x + 3y + 1 Αυτή η διωνυμική έχει τη μορφή (a + b) ^ 3 Επεκτείνουμε το διωνυμικό με την εφαρμογή ιδιότητα: (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3. Όπου σε δεδομένη διωνυμική a = x και b = y + 1 έχουμε: [x + (y + 1)] ^ 3 = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 3 και (y + 1) ^ 2 Για (y + 1) ^ 3 πρέπει να χρησιμοποιήσουμε (b) η παραπάνω κυβική ιδιότητα So (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1. Παρατηρήστε ότι ως (2) Για το (y + 1) ^ 2 πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το τετράγωνο του ποσού που λέει: (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 So (y + 2 = y ^ 2 + 2y + 1. Παρατηρήστε ότι ως (3) Αντ

Πώς χρησιμοποιείτε τη διωνυμική σειρά για να επεκτείνετε το sqrt (z ^ 2-1);

Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2-1 / 8z ^ 4-1 / 16z ^ 6 + ...] (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx για τα μικρά x έτσι είμαι λίγο σκουριασμένος. Η διωνυμική σειρά είναι μια εξειδικευμένη περίπτωση του διωνυμικού θεωρήματος που δηλώνει ότι (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), k) (k-1)) / (k!) Αυτό που έχουμε είναι (z ^ 2-1) ^ (1/2) , αυτή δεν είναι η σωστή μορφή. Για να το διορθώσουμε υπενθυμίζουμε ότι i ^ 2 = -1 έτσι έχουμε: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1 -z ^ 2) είναι τώρα στη σωστή μορφή με x = -z ^ 2 Επομένως, η επέκταση θα είναι: i [1-1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 + ...] i [1-1 / 2z ^ 2-1 /