Πώς χρησιμοποιείτε τη διωνυμική σειρά για να επεκτείνετε το sqrt (z ^ 2-1);

Απάντηση:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2-1 / 8z ^ 4-1 / 16z ^ 6 + … #

Εξήγηση:

Θα ήθελα αρκετά έναν διπλό έλεγχο, επειδή ως φοιτητής φυσικής σπάνια έχω ξεπεράσει # (1 + χ) ^ n ~~ 1 + nx # για τα μικρά x έτσι είμαι λίγο σκουριασμένος. Η διωνυμική σειρά είναι μια εξειδικευμένη περίπτωση του διωνυμικού θεώρημα που το δηλώνει αυτό

(N), (k)) x ^ k # (1)

Με (n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k +

Αυτό που έχουμε είναι # (z ^ 2-1) ^ (1/2) #, αυτή δεν είναι η σωστή μορφή. Για να διορθώσετε αυτό, θυμηθείτε αυτό # i ^ 2 = -1 # έτσι έχουμε:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^

Αυτό είναι τώρα στη σωστή μορφή με # x = -z ^ 2 #

Ως εκ τούτου, η επέκταση θα είναι:

# i 1-1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

# i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #