Ενσωματωμένο 1 / sqrt (tanx) dx =?

Απάντηση:

(2 tanx-sqrt (2 tanx) +1) / (sqrt2) tan ^ -1 +1) + C #

Εξήγηση:

Αρχίζουμε με u-αντικατάσταση με # u = sqrt (tanx) #

Το παράγωγο του # u # είναι:

# (du) / dx = (sec ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)) #

έτσι διαιρούμε με αυτό να ενσωματώσουμε με σεβασμό # u # (και θυμηθείτε, διαιρώντας με κλάσμα είναι το ίδιο με το πολλαπλασιασμό με την αμοιβαιότητα):

#int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx)

# = int 2 / sec ^ 2x du #

Δεδομένου ότι δεν μπορούμε να ενσωματώσουμε #Χ#'s σε σχέση με # u #, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη ταυτότητα:

# sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1 #

Αυτό δίνει:

(1 + u ^ 4) du = 2int 1 / (tan + 2 ^ + 1) du = int

Αυτό το υπόλοιπο ενσωματώνει μια αρκετά κουραστική μερική αποσύνθεση κλάσματος, οπότε δεν θα το κάνω εδώ. Ρίξτε μια ματιά σε αυτήν την απάντηση εάν ενδιαφέρεστε για τον τρόπο με τον οποίο εκτελείται:

socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1

# 2int 1 / (1 + u ^ 4) du = 2 (1 / (2sqrt2) tan ^ -1 ((u2-2-1) / (sqrt2u) 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) |) + C = #

= 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (2sqrt2) ln (u ^ 2 sqrt2u + 1) / u ^ 2 sqrt2u +) + C #

Επανατοποθέτηση για # u = sqrt (tanx) #, παίρνουμε:

(2 tanx-sqrt (2 tanx) +1) / (sqrt2) tan ^ -1 +1) + C #

Απάντηση:

= 1 / sqrt (2) tan ^ -1 (tanx-1) / (sqrt (2tanx))) + 1 + sqrt (2tanx)) + c #

Εξήγηση:

# I = int1 / sqrt (tanx) dx #

Αφήνω, #sqrt (tanx) = t => tanx = t ^ 2 => sec ^ 2xdx = 2tdt #

(1 + tan ^ 2x) dx = 2tdt => dx = (2tdt) / (1+ (t ^ 2) ^ 2 #

(1 + t ^ 4) = int2 / (1 + t ^ 4) dt # /

(1 + t ^ 4) dt-int (t ^ 2-1) / (1 + t ^ 4) dt = int (1 + t ^ 2 + 1 / t ^ 2) dt-int (1-1 / t ^ 2)

(1 + 1 / t ^ 2) / ((t-1 / t) ^ 2 + 2) dt-int 2) dt #

Παίρνω,# (t-1 / t) = uand (t + 1 / t) = v #(1 + 1 / t ^ 2) dt = duand (1-1 / t ^ 2) dt = dv #(2)) 2 = (1) (2) (2) 2 = (1) 1 (u / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (v-sqrt2) / (v + sqrt2) / t) / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (t + 1 / t) -sqrt2) / (t +(2) t = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((t ^ 2-1) / (sqrt 2) t)) / ((t ^ 2 + 1 + sqrt (2) t)) + c #

= 1 / sqrt (2) tan ^ -1 (tanx-1) / (sqrt (2tanx))) + 1 + sqrt (2tanx)) + c #