Ποιο είναι το παράγωγο του f (x) = csc ^ -1 (x);

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Επεξεργάζομαι, διαδικασία:

1.) # y = "arccsc" (x) #

Πρώτα θα ξαναγράψουμε την εξίσωση σε μια μορφή με την οποία είναι πιο εύκολη η εργασία.

Πάρτε το Cosecant και των δύο πλευρών:

2.) #csc y = x #

Ξαναγράψτε από άποψη ημίτονο:

3.) # 1 / siny = x #

Επίλυση για # y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) # y = arcsin (1 / x) #

Τώρα, η λήψη του παραγώγου θα πρέπει να είναι ευκολότερη. Είναι τώρα μόνο θέμα αλυσίδας κανόνα.

Ξέρουμε ότι # d / dx arcsin άλφα = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) # (υπάρχει μια απόδειξη αυτής της ταυτότητας που βρίσκεται εδώ)

Έτσι, πάρτε το παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, στη συνέχεια πολλαπλασιάστε με το παράγωγο του # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / χ) ^ 2) * d / dx

Το παράγωγο του # 1 / x # είναι το ίδιο με το παράγωγο του # x ^ (- 1) #:

8.) (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Απλούστευση 8. μας δίνει:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Για να κάνουμε τη δήλωση λίγο πιο όμορφη, μπορούμε να φέρουμε την πλατεία του # x ^ 2 # μέσα στο ριζικό, αν και αυτό δεν είναι απαραίτητο:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2)

Απλοποίηση των αποδόσεων:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Και υπάρχει η απάντησή μας. Θυμηθείτε, τα προβλήματα παραγώγων που αφορούν αντίστροφες λειτουργίες trig είναι ως επί το πλείστον μια άσκηση στις γνώσεις σας σχετικά με την ταυτότητα των σκανδάλης. Χρησιμοποιήστε τα για να καταργήσετε τη λειτουργία σε μια μορφή που είναι εύκολο να διαφοροποιηθεί.