Πώς μπορείτε να αποδείξετε την κατανομή Poisson;

Απάντηση:

# "Βλέπε εξήγηση" #

Εξήγηση:

# "Παίρνουμε μια χρονική περίοδο με μήκος" t ", που αποτελείται από n τεμάχια" #

#Delta t = t / n "Ας υποθέσουμε ότι η ευκαιρία για ένα επιτυχημένο γεγονός" #

# "σε ένα κομμάτι είναι" p ", τότε ο συνολικός αριθμός συμβάντων στο n" #

# "κομμάτια χρόνου διανέμονται διωνυμικά σύμφωνα με το" #

(n-x), x = 0,1, …, n # x (x)

# "με" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! * (k!))

# "Τώρα αφήσαμε" #

# n-> oo ", οπότε" p-> 0 ", αλλά" n * p = lambda #

# "Έτσι αντικαθιστούμε το" p = lambda / n "στο" p_x ":" #

(n-x)) (λ) / (n) x (x) (n-x)

(n-x)) = 1 / (n ^ x (1-lambda / n) ^ x)

(n-1) (n-2) … (n-x + 1) / / n (1-λάμδα / n)) ^ x #

# "για" n ">" τι είναι μεταξύ … "-> 1" και "#"

# (1 - lambda / n) ^ n -> e ^ -lambda "(όριο του Euler), #

# "έτσι ώστε να λάβουμε" #

(x) = (lambda ^ xe ^ -lambda) / (x!), x = 0,1,2, …, oo #