Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσετε στο επόμενο παιχνίδι που επαναλαμβάνεται απείρως;

Απάντηση:

# "Απάντηση D)" #

Εξήγηση:

# "Είναι η μόνη λογική απάντηση, οι άλλοι είναι αδύνατοι." #

# "Αυτό είναι το πρόβλημα της καταστροφής του τζογαδόρου." #

# "Ένας παίκτης ξεκινάει με το δ δολάριο." #

# "Παίζει έως ότου φτάσει στο δολάριο G ή πέσει πίσω στο 0". #

#p = "πιθανότητα να κερδίσει 1 δολάριο σε ένα παιχνίδι." #

# q = 1 - p = "πιθανότητα να χάσει 1 δολάριο σε ένα παιχνίδι." #

# "Καλέστε" r_k "την πιθανότητα (τύχη) που καταστρέφεται." #

# "Τότε έχουμε" #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

"r_ {k-1}," με "1 <= k <= G-1 #

# "Μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτή την εξίσωση λόγω p + q = 1 ως εξής:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Τώρα εδώ έχουμε την υπόθεση" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

# r_G - r_0 = -1 = άθροισμα {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Για" r_k "έχουμε" #

# r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i)

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k)

# "Έτσι, ο παίκτης Α ξεκινά εδώ με k = ένα δολάριο και παίζει μέχρι" #

# "καταστρέφεται ή έχει ένα + b δολάριο." #

# => k = a "και" G = a + b #

# "Έτσι οι πιθανότητες ότι καταστρέφεται είναι" #

# (G-k) / G = (a + b-a) / (a + b)

# "Οι αποδόσεις που κερδίζει είναι" #

# 1 - β / (α + β) = α / (α + β) => "Απάντηση D)" #