Απάντηση:
# x ^ 3-3x + 6 # έχει τοπικά ακρότατα στο # x = -1 # και # x = 1 #
Εξήγηση:
Τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης συμβαίνουν σε σημεία όπου το πρώτο παράγωγο της συνάρτησης είναι #0# και το σημείο των πρώτων αλλαγών παραγώγων.
Δηλαδή, για #Χ# όπου # f '(x) = 0 # και είτε # f '(x-varepsilon) <= 0 και f' (x + varepsilon)> = 0 # (τοπικό ελάχιστο) ή
# f '(x-varepsilon)> = 0 και f' (x + varepsilon) <= 0 # (τοπικό μέγιστο)
Για να βρούμε τα τοπικά άκρα, λοιπόν, πρέπει να βρούμε τα σημεία όπου # f '(x) = 0 #.
(x-1) = 3 (x + 1) (x-1) #
Έτσι
(x) = 0 <=> 3 (x + 1) (x-1) = 0 <=> x = + - 1 #
Κοιτάζοντας το σημάδι του #φά'# παίρνουμε
(f '(x)> 0 εάν x> 1), (f' (x) <0 εάν -1 <x <1)
Έτσι το σημάδι του #φά'# αλλαγές σε κάθε μία από αυτές # x = -1 # και # x = 1 # πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει ένα τοπικό άκρο και στα δύο σημεία.
Σημείωση: Από την αλλαγή των σημείων, μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει ένα τοπικό μέγιστο στο # x = -1 # και τοπικό ελάχιστο στο # x = 1 #.
