Πώς μπορείτε να λύσετε την πολυωνυμική ανισότητα και να δηλώσετε την απάντηση στη σημείωση διαστήματος δεδομένου x ^ 6 + x ^ 3> = 6?

Απάντηση:

Η ανισότητα είναι τετραγωνική.

Εξήγηση:

Βήμα 1: Απαιτείται μηδέν στη μία πλευρά.

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #

Βήμα 2: Δεδομένου ότι η αριστερή πλευρά αποτελείται από έναν σταθερό όρο, έναν μεσοπρόθεσμο και έναν όρο του οποίου ο εκθέτης είναι ακριβώς διπλάσιος από τον μεσοπρόθεσμο, αυτή η εξίσωση είναι τετραγωνική "σε μορφή". Εμείς είτε παράγοντας σαν τετραγωνικό, είτε χρησιμοποιούμε το Quadratic Formula. Σε αυτή την περίπτωση είμαστε σε θέση να παράγοντας.

Απλα οπως # y ^ 2 + y - 6 = (γ + 3) (γ - 2) #, έχουμε τώρα

(x ^ 3 + 3) (x ^ 3 - 2) # x ^.

Αντιμετωπίζουμε # x ^ 3 # σαν να ήταν μια απλή μεταβλητή, y.

Αν είναι πιο χρήσιμο, μπορείτε να αντικαταστήσετε # y = x ^ 3 #, στη συνέχεια λύστε το y και, τέλος, αντικαταστήστε ξανά στο x.

Βήμα 3: Ρυθμίστε κάθε παράγοντα ίσο με το μηδέν χωριστά και λύστε την εξίσωση # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = 0 #. Βρίσκουμε όπου η αριστερή πλευρά ισούται με το μηδέν, επειδή αυτές οι τιμές θα είναι τα όρια της ανισότητας μας.

# x ^ 3 + 3 = 0 #

# x ^ 3 = -3 #

# x = -ορίζω (3) 3 #

# x ^ 3 -2 = 0 #

# x ^ 3 = -2 #

# x = root (3) 2 #

Αυτές είναι οι δύο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης.

Διαχωρίζουν την πραγματική γραμμή σε τρία διαστήματα:

# (- oo, -root (3) 3). (-ορό (3) 3, ρίζα (3) 2). και (ρίζα (3) 2, oo) #.

Βήμα 4: Προσδιορίστε το σημάδι της αριστεράς πλευράς της ανισότητας σε καθένα από τα παραπάνω διαστήματα.

Η χρήση σημείων δοκιμής είναι η συνήθης μέθοδος. Επιλέξτε μια τιμή από κάθε διάστημα και αντικαταστήστε την με το x στην αριστερή πλευρά της ανισότητας. Μπορούμε να επιλέξουμε -2, στη συνέχεια 0 και στη συνέχεια 2.

Θα ανακαλύψετε ότι η αριστερή πλευρά είναι

θετική στις # (- oo, -root (3) 3) #;

αρνητικό # (- ρίζα (3) 3, ρίζα (3) 2) #;

και θετική στις # (ρίζα (3) 2, oo) #.

Βήμα 5: Ολοκλήρωση του προβλήματος.

Μας ενδιαφέρει να μάθουμε πού # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #.

Γνωρίζουμε τώρα πού η αριστερή πλευρά είναι ίση με 0, και ξέρουμε πού είναι θετική. Γράψτε αυτές τις πληροφορίες σε μορφή διαστήματος ως:

# (- oo, -root (3) 3 uu ρίζα (3) 2, oo) #.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Έχουμε τις αγκύλες επειδή οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι ίσες σε εκείνα τα σημεία, και το αρχικό πρόβλημα απαιτεί για μας περιλαμβάνω αυτές τις αξίες. Αν το πρόβλημα χρησιμοποιήθηκε #># αντί # ge #, θα χρησιμοποιούσαμε παρενθέσεις.